Coloquio de Matemática UC

El Coloquio de Matemática UC está dirigido a todo la comunidad matemática de la UC y en particular a los estudiantes de pregrado y posgrado, por lo cual se presentan de manera general los temas principales del expositor, con el propósito de motivar a los estudiantes. Esta es una instancia excelente para nuestros estudiantes de posgrado, por ejemplo.

El sitio anterior del coloquio con información sobre charlas anteriores se puede encontrar aquí.

El público se compone de personas que tienen una formación general en matemática. Estamos en particular tratando que los coloquios sean más bien generales, dirigidos principalmente a estudiantes de Matemática. Las charlas duran 50 minutos (mas discusión). Por favor adaptar el nivel de los primeros 25 minutos (por menos) de su presentación a este público. Nosotros consideramos estas sugerencias en el sitio de AMS útiles:  http://www.ams.org/profession/leaders/workshops/gcoll.pdf

2021-08-27
16:00hrs.
Benjamín Palacios . UC Chile
Problemas inversos, imágenes médicas y análisis microlocal
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Esta charla busca introducir a los/las participantes al análisis de problemas inversos (en EDP’s) mediante sus numerosas aplicaciones al campo de las imágenes médicas. Veremos ejemplos de problemas matemáticos clásicos que surgen a partir de técnicas de imágenes médicas así como también algunos más recientes. Por último, presentaremos de manera superficial las ideas principales detrás de una de las herramientas más relevantes en el estudio de problemas inversos: el análisis microlocal. 
2021-05-28
16:00hrs.
Mauricio Bustamante. UC Chile
Espacios modulares asociados a variedades de curvatura negativa
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Los espacios modulares son espacios cuyos puntos representan todos los objetos matemáticos del mismo tipo. De modo que la topología de éstos espacios captura la complejidad de las posibles deformaciones de un objeto matemático.

En esta charla vamos a ver cómo los espacios modulares aparecen de forma natural en varias áreas de las matemáticas y luego nos enfocaremos en un objeto matemático específico: una variedad riemanniana de curvatura seccional negativa. Discutiremos varios métodos que se pueden usar para entender la topología de algunos espacios modulares asociados a dichas variedades y concluiremos con varios problemas que se pueden plantear en esta dirección.

Esta charla será accesible para estudiantes de pregrado avanzados y estudiantes de posgrado.
2021-04-23
16:00hrs.
Aníbal Velozo. UC Chile
Grafos, caminos periódicos y coding
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
Un sistema dinámico consta de dos componentes, un espacio X y una transformación T que actúa en X (concretamente, una función T:X->X). Una pregunta natural en este contexto es la siguiente: dado un punto x en X ¿qué podemos decir de T^n(x)=T(T(...(T(x))...)), cuando n es grande?
En muchos casos (la mayoría) una respuesta precisa de cómo se va moviendo el punto x al aplicar T está completamente fuera de nuestro alcance. (¿Han escuchado del efecto mariposa?) En esta charla discutiremos como modelos combinatoriales (grafos) pueden usarse para entender un sistema dinámico y dar luz a la pregunta inicial. Un problema que nos interesara responder es el siguiente: 

Sea G=(V,E) un grafo (donde V es el conjunto de vértices y E el conjunto de aristas) y definamos a(n) como la cantidad de caminos cerrados de largo n en G. ¿Cuál es el orden de crecimiento de la secuencia (a(n))_n?
2021-03-19
16:00hrs.
Amal Taarabt. UC Chile
PROPIEDADES DE TRANSPORTE PARA MODELOS DE LA MATERIA CONDENSADA
https://reuna.zoom.us/j/87498610171
Abstract:
El Transporte electrónico es un objeto central en el estudio de la conducción en la materia condensada. Recientemente, el desarrollo de nuevos materiales como el grafeno ha abierto las puertas a nuevas tecnolog ??as con aplicaciones en nano-ingeniería y telecomunicaciones. Desde un punto de vista matemático, la física de estos sistemas se codifica en las propiedades espectrales y dinámicas de operadores aleatorios. El modelo más simple para la dinámica de los portadores de carga en una estructura de tipo grafeno es el Laplaciano discreto sobre un reticulado hexagonal, pero a energías de excitación bajas esta dinámica se describe en realidad mediante un operador de Dirac bidimensional sin masa.
 
En esta charla, veremos una introducción heurística al tema de localización dinámica y presentaremos algunos resultados recientes sobre las propiedades espectrales y dinámicas de operadores de Dirac aleatorios y notablemente en contextos donde se rompe la ergodicidad y donde se observa un fenómeno de transición entre regímenes de localización y delocalización.
2020-11-20
16:00hrs.
Joaquín Fontbona. Universidad de Chile
Propagación de caos: de la ecuación de Boltzmann a redes neuronales
https://reuna.zoom.us/j/91482958766
Abstract:
En esta charla presentaré la noción de propagación de caos, introducida por Kaç en los 50’s al buscar una justificación matemática de la ecuación de Boltzmann, como límite de sistemas microscópicos aleatorios en interacción, y que, básicamente, corresponde a la independencia asintótica de los elementos de un sistema aleatorio intercambiable finito, cuando el tamaño de este tiende a infinito.  

Veremos en qué sentido esta propiedad generaliza la ley de grandes números,  cómo se relaciona con resultados probabilistas clásicos del siglo XX, tales como el Teorea de De Finetti y el Teorema de Sanov y cómo, de manera general, permite justificar que familias importantes de EDPs de evolución no lineales aparecen matemáticamente como el límite “de campo medio” de sistemas estocásticos Markovianos de partículas en interacción.   

Veremos también cómo se puede “cuantificar” la propagación de caos, con ayuda de la teoría de transporte óptimo de masa, así como su relación con la entropía, y resultados recientes de propagación de caos cuantitativos para la ecuación de Boltzmann espacialmente homogénea.   

Finalmente, discutiremos como esta propiedad ha ayudado a explicar matemáticamente, en los últimos 2 o 3 años, por qué las redes neuronal ampliamente usadas  en aprendizaje de máquinas  son tan efectivas en “aprender de manera generalizable”, cuando son entrenadas con algoritmos de optimización “en línea” como el gradiente estocásitico.
2020-11-06
16:00hrs.
Constanza Rojas-Molina. Cy Cergy Paris Université
Operadores de Schrödinger aleatorios y localización de electrones en un medio aleatorio
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
La teoría de operadores de Schrödinger aleatorios surgió a fines de los años 70 para dar una descripción rigurosa de la ausencia de propagación de electrones en medios desordenados, lo que hoy es conocido como localización de Anderson. Este fenómeno, originalmente observado por el físico P.W. Anderson, es una consecuencia del desorden presente en un material con impurezas. En las últimas décadas, la teoría de operadores aleatorios ha sido ampliamente desarrollada y generalizada a una gran variedad de modelos. Sin embargo, a pesar de que hoy tenemos bastante información sobre el fenómeno de localización, algunos de los problemas planteados inicialmente en la teoría quedan aún abiertos. Un ejemplo de esto es la transición entre estados localizados y deslocalizados, que sigue siendo una fuerza detrás del desarrollo de esta teoría.

En esta charla, veremos una introducción al tema de los operadores de Schrödinger aleatorios, revisaremos algunos resultados recientes y discutiremos cómo esta teoría encuentra nuevas aplicaciones hoy motivadas por conexiones con ciertas marchas aleatorias en diferentes contextos, como por ejemplo, en modelos de marchas cuánticas, o en marchas de largo alcance.
2020-10-23
16:00hrs.
Santiago Saglietti. UC Chile
Un paseo (aleatorio) por los procesos de ramificación de Galton-Watson
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
En la Inglaterra del siglo XIX, había preocupación entre los Victorianos porque los apellidos aristocráticos mostraban una tendencia a extinguirse. No dispuesto a admitir sin fundamentos la hipótesis de que las familias "distinguidas" son más propensas a extinguirse que las "ordinarias", en 1873 Francis Galton reconoció que un primer paso en el estudio de dicha hipótesis era el de determinar la probabilidad de que el árbol genealógico de una familia ordinaria desapareciese, utilizando datos de fertilidad de población general. Por tal motivo, formuló en un volumen del Educational Times de dicho año el problema de extinción de las familias como sigue: 
 
"Sean p(0), p(1), p(2),... las probabilidades de que un hombre tenga 0,1,2,... hijos, y supongamos que cada hijo tiene las mismas probabilidades para sus propios hijos, y así siguiendo. ¿Cuál es la probabilidad de que la línea familiar de hijos varones se extinga luego de r generaciones?"
 
Un tiempo más tarde, el reverendo H.W. Watson resolvió (erróneamente!) el problema, dando origen a la teoría de procesos de ramificación, que hoy en día es un eje central de la teoría de probabilidad, con aplicaciones diversas en Biología, Genética de poblaciones, Química y Física, entre otras disciplinas.
 
En esta charla presentaremos el modelo original de Galton y Watson, comentaremos algunas de sus propiedades básicas y discutiremos su influencia sobre algunos modelos probabilísticos que se estudian arduamente hoy en día. No se requieren para la charla conocimientos previos en probabilidad (sólo un poco de intuición probabilística!). 
 
2020-10-09
16:00hrs.
Daniel Coronel . Universidad Católica
Transiciones de fase en sistemas dinámicos.
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
 Una herramienta esencial en el estudio de sistemas dinámicos caóticos son las medidas de probabilidad invariantes por la dinámica 
pues estas permiten hacer estadística sobre las órbitas del sistema. Pero un sistema caótico tiene muchas medidas invariantes y no todas 
son útiles para describir a la mayoría de las órbitas. En esta charla mostraremos cómo usando ideas de la mecánica estadística podemos 
obtener buenas medidas para el estudio estadístico de las órbitas del sistema. Motivados por esta conexión estudiaremos 
el fenómeno de  transiciones de fase en sistemas dinámicos. Revisaremos resultados recientes sobre transiciones de fase  y 
discutiremos  problemas abiertos algunos de los cuales están en la intersección de la mecánica estadística y  los sistemas dinámicos.
 
2020-09-04
16:00hrs.
Álvaro Liendo. Universidad de Talca
Caracterización de variedades algebraicas por su grupo de simetrías
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
Una antigua pregunta que emana del programa de Erlangen de Klein puede
ser fraseada en términos modernos de la siguiente forma: ¿Se puede
caracterizar un objeto geométrico por su grupo de simetrías? La
primera parte de esta charla consiste en una introducción al problema
para una audiencia general con algunos ejemplos seleccionados de fuera
del área de geometría algebraica.

En la segunda parte de la charla entramos al caso de la geometría
algebraica donde demostramos que, en general, la respuesta a la
pregunta anterior es negativa. Sin embargo, después de restringir
fuertemente la clase de variedades estudiadas logramos una respuesta
afirmativa. En efecto, demostramos que las superficies tóricas affines
están únicamente determinadas por su grupo de automorfismos regulares
en la categoría de de las variedades normales. Esto requiere aplicar
resultados recientes sobre el grupo de Cremona en dos variables.
2020-08-21
16:00hrs.
Sebastián Herreros. Pucv
Sobre la función j de Klein
https://zoom.us/j/91482958766
Abstract:
La función j de Klein es una cierta función analítica definida en el semiplano superior complejo que es invariante respecto a la acción del grupo modular. Esta definición, sin embargo, esconde muchas de las propiedades aritméticas que la función j posee, las cuales son de gran importancia en teoría de números. En esta charla presentaremos esta función y describiremos algunas de estas propiedades, comparándola con otras funciones clásicas que poseen características similares, como la función exponencial o las funciones elípticas de Weierstrass.
2020-03-13
16:00hrs.
Carlos Román. UC Chile
El modelo de superconductividad de Ginzburg-Landau
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La superconductividad es un fenómeno que ha atraído muchísima atención desde su descubrimiento en 1911 por Onnes. Sus dos características más llamativas son la posibilidad de circulación de corrientes eléctricas sin disipación y la levitación superconductora mediante la expulsión de un campo magnético aplicado. En 1950 Ginzburg y Landau propusieron un modelo fenomenológico para su estudio, el cual ha sido tremendamente exitoso, con varios premios Nobel otorgados por su análisis. En presencia de un campo magnético aplicado, este modelo predice exitosamente la aparición en un superconductor de tipo II de defectos topológicos cuantizados denominados vórtices (similares a los de dinámica de fluidos). En este coloquio describiremos el comportamiento de superconductores de tipo II en diferentes regímenes de intensidad de un campo magnético aplicado y mostraremos las principales herramientas matemáticas para analizar el número e interacción de sus correspondientes vórtices.
2019-11-22
15:00hrs.
Hanne Van Den Bosch. Dim & Cmm, Universidad de Chile & Umi Cnrs 2807
Dirac operators for the description of graphene 
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:

Graphene is a two-dimensional sheet of carbon atoms forming a honeycomb lattice. It has extraordinary properties that make it a promising material  for applications in nano-technology. The purpose of this talk is to show some of the mathematical tools that are used to describe electrons moving through graphene. At low energy, their behavior is described by a massless Dirac operator. I will also show some consequences of this description and point out some open problems

2019-10-11
16:00hrs.
Jenia Tevelev. U of Mass Amherst - PUC Chile
Moduli of points and lines
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Projective duality identifies arrangements of n lines in the projective plane and arrangements of n points in the dual projective plane. We ask: how does projective duality behave under degenerations? Kapranov introduced the compactified moduli space of line arrangements, later studied by Lafforgue, Keel-Tevelev, and others. On the other hand, compactified moduli space of point arrangements was introduced by Gerrizen and Piwek. In joint work with Luca Scaffler, we investigate how these two moduli spaces are related.
 
2019-09-13
16:00hrs.
Chirs Budd. PUC Chile
Non-smooth models in the Geosciences
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
In this talk I will use the techniques of non-smooth dynamical systems to study two quite different problems, namely rock folding, and the climate change during the ice ages.  The idea is
to show how one branch of maths can give insights into the behaviour of the earth and its climate.
2019-08-30
16:00hrs.
Raimundo Briceño. PUC Chile
Entropía y transiciones de fase computacionales
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Dado un grafo finito, supongamos que queremos conocer su número de conjuntos independientes, esto es, la cantidad de subconjuntos de vértices que inducen un grafo sin aristas. Este es un problema en general difícil (#P-completo) y sólo en algunos casos admite aproximaciones que son eficientes en función del tamaño del grafo y la precisión requerida. ¿Qué podemos decir en el caso infinito? Para abordar y dar sentido a esta pregunta, nos centraremos en grafos numerables que poseen algún grado de simetría y cuyo grupo de automorfismos satisface ciertas propiedades especiales. Teniendo esto en cuenta, relacionaremos lo anterior con dos resultados notables: la existencia de transiciones de fase computacionales y la caracterización de entropías topológicas para subshifts de tipo finito multidimensionales.
2019-08-09
16:00hrs.
Rodrigo Cofré. Universidad de Valparaiso
El principio de máxima entropia en múltiples escalas espaciales en biología
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
El principio de máxima entropia se aplica cada vez más en ciencias para construir modelos matemáticos de redes biológicas consistentes con elementos presentes en bases de datos experimentales. Este principio de inferencia permite obtener descripciones cuantitativas y cualitativas precisas del comportamiento colectivo que surge en sistemas biológicos complejos a diferentes escalas espaciales. En este coloquio revisamos los elementos básicos de máxima entopia y mostramos, en base a ejemplos (la retina, el cerebro humano, bandadas de pájaros) su utilidad en la descripción de sistemas biológicos complejos.
2019-05-31
16:00hrs.
Isabelle Beaudry. PUC Chile
Inferencia estadística a partir de una muestra de una red social
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:

El análisis estadístico de redes sociales tuvo un crecimiento rápido en las últimas décadas. La popularidad de este campo de estudio se atribuye en parte a la amplia gama de aplicaciones de la teoría de redes sociales, por ejemplo, el análisis de interacciones humanas, de relaciones económicas y políticas entre países, de propagación de enfermedades contagiosas, de formación de enlaces en internet, etc. Debido a razones prácticas, tal como el costo alto de recolectar datos sobre una red entera y la factibilidad de almacenar una gran cantidad de datos, en muchos casos, sólo se observa una porción de la red. En esta charla hablaremos de estrategias comunes para tomar muestras de una red social y de algunos métodos para hacer inferencia sobre la dicha población conectada por una red cuando se observa sólo una muestra.

2019-05-17
16:00hrs.
José Samper. University of Miami
La caraterística de Euler, descascaramientos y teoría de matroides
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La característica de Euler es una invariante de cierto tipo de espacios que tiene una historia fascinante. Ha sido definida en varios contextos luego de su introducción en la famosa ecuación de Euler para grafos planos (V-E+F=2). Otros ejemplos clásicos con características de Euler incluyen espacios triangulados o subdivididos por poliedros. En 1852, Schläfli probó una variante de la ecuación de Euler para polítopos, asumiendo implicitamente que estos se pueden descomponer de una manera especial. La invención de la topología y la homología a principios del siglo XX probablemente retrasó la culminación de la prueba de geométrica de Schläfli, que fue finalmente complenta en 1972 por Bruggesser y Mani. Estos últimos refinaron la noción de descascaramientos y dieron una prueba muy elegante de que los polítopos se descomponen como quería Schläfli. El propósito de la charla es contar la historia de esta prueba y explicar un poco como la teoría de descascaramientos llegó a jugar un papel central en combinatoria geométrica y topológica. Terminaremos exponiendo una nueva conexión entre descascaramientos de polítopos y teoría de matroides que explica cómo ideas geométricas prueban teoremas de combinatoria.  

2019-04-12
16:00hrs.
Thomas Fuhrer. PUC Chile
Problemas Bi-Laplacianos - formulaciones variacionales, trazas y aproximaciones
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
En esta charla voy a revisar el problema bi-Laplaciano que describe la deformación de placas y es una EDP del orden cuatro.

Para definir métodos numéricos para aproximar soluciones de esta ecuación tenemos que definir y analizar formulaciones variacionales del problema.

Eso incluye:
(i)   Definición de espacios de Sobolev apropiados.
(ii)  Analisis de espacios duales y operadores de trazas.
(iii) Aproximaciones de soluciones en subespacios.

Especificamente voy a hablar sobre el caso donde la frontera es solamente Lipshitz y no convexa, lo que permite funciones singulares como soluciones del problema.
2019-03-29
16:00hrs.
Cristobal Rojas. Unab
Complejidad computacional en el análisis de sistemas dinámicos
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La importancia que actualmente tienen los computadores en el análisis, exploración y predicción de sistemas dinámicos es incuestionable. Comprender los límites de esta metodología es por tanto una tarea de gran interés, más aún si tenemos en cuenta las aplicaciones a la física y la ingeniería. En esta charla discutiremos cómo es posible usar las herramientas de la teoría de la calculabilidad y complejidad computacional para entender dichos límites, y su interacción con las propiedades dinámicas, analíticas o geométricas del sistema. En particular, revisaremos algunos ejemplos que ilustran el panorama general: si bien fenómenos de alta dificultad computacional pueden emerger en sistemas muy simples, en general se espera que el comportamiento exhibido por sistemas genéricos sea computacionalmente tratable. Todas las nociones necesarias serán introducidas en la charla.