El estudio de categorías derivadas en geometría algebraica es una historia apasionante. Sus orígenes se remontan a la tesis de Jean-Louis Verdier (bajo la supervisión de Alexander Grothendieck) alrededor de 1960, donde aparecieron como un objeto formal para construir functores derivados y enunciar teoremas de dualidad. Con el correr de los años, la comunidad matemática se dió cuenta que $D^b(X)$ contiene mucha información geométrica de la variedad en cuestión. En particular, espacios de moduli sobre variedades tienden a tener una fuerte relación entre sus categorías derivadas, una perspectiva originada en trabajos de Mukai sobre variedades abelianas.

Sea k un entero positivo, y sea W una superficie proyectiva con solo T-singularidades y clase canónica amplia. Si K_W^2=k, entonces las singularidades de W pertenecen a una lista finita. Encontrar esa lista explícitamente es muy complicado.

Si W no es racional, entonces se puede estudiar y algunas veces explicitar esta lista a través de trabajos en colaboración con Julie Rana (2019), y con Fernando Figueroa y Julie Rana (2023). El caso W racional es un problema abierto. Explicaré cuales son las dificultades del problema a través de ejemplos claves. El objetivo es conectar con el programa de Sarkisov.