En estas primeras cuatro o cinco sesiones vamos a estudiar un problema basico de la topologa diferencial: ¿cómo caracterizar una esfera? Mas concretamente quisieramos estudiar esta pregunta desde tres puntos de vista que corresponden a tres nociones distintas de isomorsmo en la categora de variedades diferenciables:

1. Caracterizacion por equivalencia homotopica: si una n-variedad diferenciable compacta M tiene los mismos grupos de homologa de la n-esfera Sn, ¿es M homotopicamente equivalente a Sn?

2. Carecterizacion por homeomorsmo: si una n-variedad diferenciable compacta M tiene el mismo tipo de homotopa de la n-esfera Sn, ¿es M homeomorfa a Sn?

3. Caracterizacion por difeomorsmo: si una n-variedad diferenciable M es homemorfa a la n-esfera Sn, ¿es M difeomorfa a Sn?

La respuesta al caso (1) es NO. Poincare fue el primero en exhibir una 3-variedad compacta cuyos grupos de homologa son triviales excepto en grado 0 y 3 pero cuyo grupo fundamental es no-trivial. Sin embargo, lo siguiente s es cierto: toda variedad compacta simplemente conexa y con los mismos grupos de homologa de la n-esfera es homotopicamente equivalente a la n-esfera (probar esto es un ejercicio que les dejo).

La respuesta al caso (2) es SI. Esa es la llamada \conjetura de Poincare" (que ya no es conjetura). Una sesion del seminario la emplearemos en dar un bosquejo de este caso en dimensiones mayores que 5. Veremos que en ese caso es una consecuencia del Teorema de h-cobordismo, el cual vamos a discutir. La respuesta al caso (3) es NO en general1. A las variedades diferenciables homeomorfas pero no difeomorfas a Sn se les apoda esferas exoticas. Milnor fue el primero en descubrir este tipo de variedades y en este seminario vamos a discutir como lo hizo.

Programa tentativo.

Agosto 24. El teorema de h-cobordismo y la conjetura de Poincare generalizada. [Kos93].

Agosto 31 Esferas exoticas en dimension 7. [Mil56].

Septiembre 7. Variedades topologicas de que no admiten estructuras diferenciables (ejemplos de Freedman en dimension 4 y de Kervaire en dimension 10). [Fre82],[Ker60].

Septiembre 14. Introduccion a la teora de ciruga y su aplicacion en la clasicacion de esferas exoticas. [Kos93], [KM63], [Mil61].

Septiembre 21. (Opcional) Otros usos de la teora de ciruga: esta charla es de tipo general y sera principalmente para que conozcamos como se usan estas ideas clasicas en problemas mas recientes.

Referencias

[Fre82] Michael Hartley Freedman. The topology of four-dimensional manifolds. J. Differential Geometry, 17(3):357{453, 1982. 1

[Ker60] Michel A. Kervaire. A manifold which does not admit any dierentiable structure. Comment. Math. Helv., 34:257{270, 1960. 1

1Por ejemplo, en dimensiones menores que 4 la respuesta es s, en dimension 4 no se sabe y en casi todas las otras dimensiones la repuesta es no.

[KM63] M.A. Kervaire and J.W. Milnor. Groups of homotopy spheres. I. Ann. of Math. (2), 77:504{537, 1963. 1

[Kos93] Antoni A. Kosinski. Differential manifolds, volume 138 of Pure and Applied Mathematics. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1993. 1

[Mil56] J. Milnor. On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. Ann. of Math. (2), 64:399{405, 1956. 1

[Mil61] John Milnor. A procedure for killing homotopy groups of differentiable manifolds. In Proc. Sympos.

Pure Math., Vol. III, pages 39{55. American Mathematical Society, Providence, R.I, 1961. 1