Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.

Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html


2023-11-24
14:50hrs.
Héctor Pastén. UC
Una variación del problema de Brocard
Sala 5
Abstract:
El problema de Brocard pregunta si hay sólo finitos enteros positivos $n$ tal que $n!+1$ sea un cuadrado. Por ejemplo $n=4, 5, 7$ sirven. En esta charla voy a presentar una generalización de la función factorial y vamos a considerar el problema de Brocard para esta nueva función. Finalmente, demostraremos incondicionalmente la finitud de soluciones para este problema generalizado en un rango preciso.
2023-11-17
14:50hrs.
José Cuevas. UC
Conjeturas de Weil para curvas y temas afines
Sala 5
Abstract:
En este seminario presentaremos un esbozo de las conjeturas de Weil (con énfasis en el análogo de la hipótesis de Riemann) para curvas sobre cuerpos finitos, y algunas de sus consecuencias y aplicaciones. También daremos indicaciones sobre sus generalizaciones y variaciones.
2023-11-10
14:50hrs.
Felipe Inostroza. UC
El Último Teorema de Fermat en Polinomios
Sala 5
Abstract:
En esta charla demostraremos el último teorema de Fermat para polinomios usando el teorema de Mason.
2023-11-03
2:50pmhrs.
Héctor Pastén. UC
Derivadas Aritméticas
Sala 5
Abstract:

En esta charla explicaré cómo construir derivadas no triviales en los números enteros y formularé una conjetura sobre su tamaño: la "conjetura de las derivadas pequeñas". Se demostrará un teorema que da una cota para la conjetura ABC en términos de estas derivadas aritméticas. Finalmente mostraremos cómo la conjetura de las derivadas pequeñas implica ABC.

2023-10-20
14:50hrs.
Elizabeth Menezes. Impa
Defective Varieties and Applications
Sala 5
Abstract:
The complexity of the matrix multiplication algorithm can be determined by decomposing a certain tensor according to its rank. Moreover, the rank of a tensor can be given by the dimension of secant projective varieties. In this talk, I will show some examples where this can be done and how it motivates the study of defective varieties. Finally, if there’s any time left, I will introduce weakly defective varieties and classify surfaces which are weakly defective.
2023-10-13
14:50hrs.
Matías Alvarado. UC
Sobre la conjetura de Lehmer y su versión dinámica
Sala 5
Abstract:
El objetivo de esta charla es discutir sobre la conjetura de Lehmer y la conjetura de Lehmer dinámica. Con este objetivo, revisaremos primeramente alturas en variedades algebraicas y posteriormente estudiaremos definiciones básicas de la teoría de dinámicas aritméticas.
Al final de la sesión enunciaremos las conjeturas de Lehmer y discutiremos sobre ellas.
2023-09-29
14:50hrs.
Benjamín Castillo. UC
Sobre las representaciones complejas de SL(2,Z)
Sala 5
Abstract:
El grupo SL(2,Z) es un grupo infinito no abeliano con amplias aplicaciones en problemas tanto de origen geométrico como aritmético.
 
En esta charla expondremos información sobre sus representaciones complejas. Más concretamente, veremos que existen 12 caracteres lineales de SL(2,Z) y que en contraste a los grupos finitos, exista una cantidad infinita de representaciones irreducibles.
 
Todos los términos que ocupemos serán explicados, así no es necesario tener algún conocimiento previo sobre representaciones para asistir a la charla.
2023-09-22
14:50hrs.
José Cuevas. UC
La Conjetura de Catalan II: Inkeri, Mihãilescu, Weiferich
Sala 5
Abstract:
En la charla del 8 de septiembre se presentó el caso de exponentes pares para la conjetura de Catalan. Aquí seguiremos con el problema, exponiendo un refinamiento de Mihãilescu a un teorema de Inkeri que impone fuertes condiciones sobre los exponentes, empleando métodos de cuerpos ciclotómicos.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2023-09-08
14:50hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
La conjetura de Catalan I: Exponente par
Sala 5
Abstract:
El problema de Catalan es un famoso teorema en teoría de números que fue conjeturado en 1842. Pasaron más de 160 años hasta que finalmente fue demostrado por el matemático rumano Preda Mihãilescu en 2004. En esta charla, realizaremos un recuento histórico de algunos avances en el problema de Catalan presentando los teoremas de Nagell, Ko Chao, Euler y V. A. Lebesgue, centrándonos en la resolución del caso de exponente par.
2023-09-01
14:50hrs.
Cristóbal Villalobos. UC
Algunos conjuntos no diofantinos
Sala 5
Abstract:
Vamos a presentar algunos conjuntos no diofantinos a los cuales se ha llegado con nuevas técnicas que utilizan herramientas de superficies elípticas y geometría algebraica.
2023-08-25
14:50hrs.
Héctor Pastén. UC
Algunos casos de la conjetura de Hall
Sala 5
Abstract:
La conjetura de Hall predice que los cuadrados y los cubos no pueden estar muy cerca entre ellos, en una forma precisa. Este problema sigue abierto. Revisando ideas de un antiguo artículo de Mordell, demostraremos la conjetura de Hall en al menos la mitad de los casos.
2023-06-09
2:00pmhrs.
Héctor Pastén. UC
Aritmética en superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Explicaremos el teorema de especialización de Silverman y temas asociados a la pregunta de cómo varía el rango en las fibras de una superficie elíptica.
2023-06-02
14:00hrs.
Benjamín Macías. UC
Superficies elípticas racionales
Sala 5
Abstract:
En esta charla estudiaremos un par de resultados generales de invariantes de superficies elípticas, y algunos aspectos sobre superficies elípticas racionales. Particularmente, discutiremos cómo se presentan sus invariantes y nos detendremos en un ejemplo típico: las cubic pencils.
2023-05-12
14:00hrs.
Camila Guajardo. UC
Sobre fibras aditivas y superficies elípticas sobre P^1
Sala 5
Abstract:
Retomaremos la discusión sobre el algoritmo de Tate en característica distinta de dos y tres para dar una clasificación más directa de las fibras aditivas. Además, veremos algunas propiedades de las superficies elípticas cuya curva base es $\mathbb{P}^1$.
2023-04-21
14:00hrs.
Jerson Caro. UC
Clasificación de superficies
Sala 5
Abstract:
Revisaremos la clasificación birracional de superficies con énfasis en el lugar que ocupan las superficies elípticas.
2023-04-14
14:00hrs.
Rocío Sepúlveda. UC
Superficies elípticas y sus fibras malas
Sala 5
Abstract:
En esta charla veremos el algoritmo de Tate y cómo funciona para clasificar fibras malas de una superficie elíptica, con ejemplos concretos.
 
2023-03-31
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a las superficies elípticas
Sala 5
Abstract:
Luego de un repaso de curvas elípticas, vamos a comenzar el estudio de las superficies elípticas y su aritmética.
 
2023-03-24
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Jugando con los libres de cuadrados
Sala 5
Abstract:
Un entero es libre de cuadrados si no es divisible por el cuadrado de un primo. Los primeros son 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10. En esta charla vamos a estudiarlos y descubrir algunas de sus propiedades básicas.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2022-11-25
14:00hrs.
Andrés Morán. UC
Curvas elípticas en criptografía: aplicaciones de la estructura de grupo y de curvas elípticas supersingulares
Sala 5
Abstract:
Establecer canales seguros de comunicación es un problema que antecede a la informática moderna. Sin embargo, el incremento de la capacidad de cómputo y las nuevas tecnologías amenazan la vigencia de los protocolos criptográficos existentes. El propósito de la charla consiste en contextualizar la importancia de las curvas elípticas en criptografía. En particular, se introducirán los preliminares básicos sobre curvas elípticas y terminología propia de criptografía. Se procederá a comentar el problema del logaritmo discreto, para tratar el protocolo de Diffie-Hellman elíptico. Luego, se verá una aplicación ofensiva: el algoritmo de factorización de enteros de Lenstra. Posteriormente, se hablará del problema del subgrupo oculto, el cual generaliza al problema de factorización de enteros y al logaritmo discreto, conduciendo hacia un hipotético escenario post-cuántico. Esto nos llevará a definir grafos de isogenia, y finalmente, a describir el protocolo de Diffie-Hellman de isogenia supersingular (SIDH), el cual pretende ser resistente a un ataque en un escenario post-cuántico. Se resaltará que algunas versiones de SIDH han sido vulneradas mediante el uso de un computador convencional, por lo cual el protocolo SIDH requiere ser mejorado.

Palabras clave: seguridad, elíptica, criptografía, Diffie-Hellman, Lenstra, isogenia, supersingular, SIDH, informática
2022-11-18
14:00hrs.
Ricardo Menares. UC
Curvas elípticas p-ádicas
Sala 5
Abstract:
Explicaré algunas características del espacio de módulos de curvas elípticas p-ádicas y un problema de aproximación diofantina que aparece naturalmente.