Seminario de Teoría de Números
El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.
Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2022-03-25
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. UC
Introducción a la conjetura ABC
Sala 5
Abstract:
La conjetura ABC es uno de los problemas más importantes en Teoría de Números y por ende en Matemáticas. En esta charla vamos a explicar de qué se trata y lo que se sabe al respecto.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
Introducción a la conjetura ABC
Sala 5
Abstract:
La conjetura ABC es uno de los problemas más importantes en Teoría de Números y por ende en Matemáticas. En esta charla vamos a explicar de qué se trata y lo que se sabe al respecto.
https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2021-12-03
14:00hrs.
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre el conjunto excepcional en las conjeturas de Vojta
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Las conjeturas de Vojta son propuestas para cuerpos de números y para cuerpos de funciones. Estas nos dicen que la Aproximación Diofantina se comporta de manera similar a la Teoría de Distribución de Valores de análisis complejo. Estas conjeturas implican muchos resultados y conjeturas de la teoría de números, como la conjetura abc, la conjetura de Bombieri-Lang, el teorema (grande) de Faltings, etc.
En esta charla explicaré de qué se tratan estas conjeturas y mostraré un resultado en el contexto de cuerpos de funciones, donde además podemos determinar el conjunto excepcional que aparece en esta conjetura de manera explícita.
Sobre el conjunto excepcional en las conjeturas de Vojta
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Las conjeturas de Vojta son propuestas para cuerpos de números y para cuerpos de funciones. Estas nos dicen que la Aproximación Diofantina se comporta de manera similar a la Teoría de Distribución de Valores de análisis complejo. Estas conjeturas implican muchos resultados y conjeturas de la teoría de números, como la conjetura abc, la conjetura de Bombieri-Lang, el teorema (grande) de Faltings, etc.
En esta charla explicaré de qué se tratan estas conjeturas y mostraré un resultado en el contexto de cuerpos de funciones, donde además podemos determinar el conjunto excepcional que aparece en esta conjetura de manera explícita.
2021-11-26
14:00hrs.
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
La conjetura de Watkins para curvas elípticas semi-estables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 2002 Watkins conjeturó que dada una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$, su rango de Mordell-Weil es a lo más la valuación $2$-ádica de su grado modular. En esta charla definiremos los invariantes relacionados a esta conjetura y demostraremos que una curva elíptica semi-estable $E/\mathbb{Q}$, cuya $2$-torsión racional es isomorfa a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, satisface la conjetura de Watkins siempre que no haya primos con reducción multiplicativa split o que el número de primos con reducción multiplicativa no split sea impar. Este es un trabajo conjunto con Héctor Pastén.
La conjetura de Watkins para curvas elípticas semi-estables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 2002 Watkins conjeturó que dada una curva elíptica definida sobre $\mathbb{Q}$, su rango de Mordell-Weil es a lo más la valuación $2$-ádica de su grado modular. En esta charla definiremos los invariantes relacionados a esta conjetura y demostraremos que una curva elíptica semi-estable $E/\mathbb{Q}$, cuya $2$-torsión racional es isomorfa a $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$, satisface la conjetura de Watkins siempre que no haya primos con reducción multiplicativa split o que el número de primos con reducción multiplicativa no split sea impar. Este es un trabajo conjunto con Héctor Pastén.
2021-11-19
14:00hrs.
14:00hrs.
Eliezer Fuentes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sumas de Ramanujan-Fourier y convoluciones afines de funciones aritméticas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Se expondrá brevemente qué son las sumas de Ramanujan-Fourier y las expansiones de Ramanujan. Luego se verán las relaciones de ortogonalidad de estas sumas, para luego seguir con un resultado asintótico para convoluciones trasladadas y afines de funciones aritméticas. Esto nos llevará a poder encontrar evidencia de un resultado conjetural sobre pares de primos.
Sumas de Ramanujan-Fourier y convoluciones afines de funciones aritméticas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Se expondrá brevemente qué son las sumas de Ramanujan-Fourier y las expansiones de Ramanujan. Luego se verán las relaciones de ortogonalidad de estas sumas, para luego seguir con un resultado asintótico para convoluciones trasladadas y afines de funciones aritméticas. Esto nos llevará a poder encontrar evidencia de un resultado conjetural sobre pares de primos.
2021-11-12
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Chevalley-Warning cuando el grado es igual al número de variables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Sea k un campo finito de característica p y sea f un polinomio sobre k con n variables y de grado d. Si d<n el teorema de Chevalley-Warning nos dice que el número de soluciones de f=0 sobre k es divisible por p. El resultado es falso cuando d=n. En esta charla explicaré cómo extender el teorema al caso d=n. Usando curvas elípticas veremos que dicha extensión es óptima.
Chevalley-Warning cuando el grado es igual al número de variables
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Sea k un campo finito de característica p y sea f un polinomio sobre k con n variables y de grado d. Si d<n el teorema de Chevalley-Warning nos dice que el número de soluciones de f=0 sobre k es divisible por p. El resultado es falso cuando d=n. En esta charla explicaré cómo extender el teorema al caso d=n. Usando curvas elípticas veremos que dicha extensión es óptima.
2021-11-05
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Chevalley-Warning
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un tema fundamental en aritmética es estudiar la existencia de soluciones de una ecuación polinomial en un campo que NO es algebraicamente cerrado. Notoriamente, uno estudia el caso del campo de los números racionales y el de campos finitos. En esta charla nos enfocaremos en campos finitos y demostraremos un teorema que, en condiciones favorables, asegura la existencia de soluciones.
El teorema de Chevalley-Warning
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un tema fundamental en aritmética es estudiar la existencia de soluciones de una ecuación polinomial en un campo que NO es algebraicamente cerrado. Notoriamente, uno estudia el caso del campo de los números racionales y el de campos finitos. En esta charla nos enfocaremos en campos finitos y demostraremos un teorema que, en condiciones favorables, asegura la existencia de soluciones.
2021-10-29
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Castillo. Pontificia Universidad Católica de Chile
Números congruentes
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un número congruente es un número entero que se puede expresar como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Decidir qué número es congruente o no es un problema de larga historia, el cual ha tenido sus avances más significativos sólo estos últimos siglos. En esta charla vamos a ver los orígenes del problema junto con un resultado clásico de Fermat y después nos enfocaremos en cómo se relacionan números congruentes con puntos racionales de ciertas curvas elípticas. Bajo este último enfoque, uno de los mejores resultados que se tiene hasta el momento es un teorema que relaciona números congruentes con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (problema del milenio).
Números congruentes
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Un número congruente es un número entero que se puede expresar como el área de un triángulo rectángulo con lados racionales. Decidir qué número es congruente o no es un problema de larga historia, el cual ha tenido sus avances más significativos sólo estos últimos siglos. En esta charla vamos a ver los orígenes del problema junto con un resultado clásico de Fermat y después nos enfocaremos en cómo se relacionan números congruentes con puntos racionales de ciertas curvas elípticas. Bajo este último enfoque, uno de los mejores resultados que se tiene hasta el momento es un teorema que relaciona números congruentes con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer (problema del milenio).
2021-10-15
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Números full-cuadrados consecutivos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Decimos que $n$ es full-cuadrado si para cada primo $p$ que divide a $n$, se tiene que $p^2$ divide a $n$. En esta charla estudiaremos el conjunto de los números full-cuadrados consecutivos y demostraremos que en verdad este es pequeño (en el sentido de densidad). Además, se mencionará cómo una conjetura de Erdös respecto a estos números nos da avances de las conjeturas de Ankeny-Artin-Chowla y de Mordell. Finalmente, explicaremos cómo la conjetura ABC ayuda a mejorar la estimación de los números full-cuadrados consecutivos.
Números full-cuadrados consecutivos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Decimos que $n$ es full-cuadrado si para cada primo $p$ que divide a $n$, se tiene que $p^2$ divide a $n$. En esta charla estudiaremos el conjunto de los números full-cuadrados consecutivos y demostraremos que en verdad este es pequeño (en el sentido de densidad). Además, se mencionará cómo una conjetura de Erdös respecto a estos números nos da avances de las conjeturas de Ankeny-Artin-Chowla y de Mordell. Finalmente, explicaremos cómo la conjetura ABC ayuda a mejorar la estimación de los números full-cuadrados consecutivos.
2021-10-08
14:00hrs.
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
La conjetura de Artin para raíces primitivas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1924 E. Artin conjeturó que para todo entero a que no pertenece a {-1, 0, 1} o que no sea un cuadrado perfecto, existen infinitos primos p tales que a (módulo p) genera las unidades del campo con p elementos; aunque es aún un problema abierto, hay grandes avances al respecto. La idea de esta charla es mostrar parte del desarrollo histórico de esta conjetura, entre ello, una prueba de Hooley asumiendo la Hipótesis generalizada de Riemann.
La conjetura de Artin para raíces primitivas
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1924 E. Artin conjeturó que para todo entero a que no pertenece a {-1, 0, 1} o que no sea un cuadrado perfecto, existen infinitos primos p tales que a (módulo p) genera las unidades del campo con p elementos; aunque es aún un problema abierto, hay grandes avances al respecto. La idea de esta charla es mostrar parte del desarrollo histórico de esta conjetura, entre ello, una prueba de Hooley asumiendo la Hipótesis generalizada de Riemann.
2021-09-24
14:00hrs.
14:00hrs.
Fernanda Cares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teorema de Northcott sobre puntos preperiódicos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1950 Northcott demostró que dada una función racional con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$ de grado mayor o igual a 2, su conjunto de puntos preperiódicos tiene altura acotada. Así, tiene finitos puntos preperiódicos de grado acotado. En esta charla definiremos los conceptos necesarios para entender este teorema y demostrarlo para funciones de tipo $z^2+c$ con $c$ racional.
Teorema de Northcott sobre puntos preperiódicos
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En 1950 Northcott demostró que dada una función racional con coeficientes en $\overline{\mathbb{Q}}$ de grado mayor o igual a 2, su conjunto de puntos preperiódicos tiene altura acotada. Así, tiene finitos puntos preperiódicos de grado acotado. En esta charla definiremos los conceptos necesarios para entender este teorema y demostrarlo para funciones de tipo $z^2+c$ con $c$ racional.
2021-09-10
14:00hrs.
14:00hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teoría de la Capacidad y la Conjetura de Schinzel-Zassenhaus (Ahora Teorema de Dimitrov)
https://zoom.us/j/97643265416
Teoría de la Capacidad y la Conjetura de Schinzel-Zassenhaus (Ahora Teorema de Dimitrov)
https://zoom.us/j/97643265416
2021-09-03
14:00hrs.
14:00hrs.
Rodrigo Galaz. Pontificia Universidad Católica de Chile
El postulado de Bertrand
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En el siglo XIX Joseph Bertrand conjeturó que siempre existe un primo entre $n$ y $2n$. En este seminario demostraremos este resultado con métodos elementales y veremos un par de aplicaciones y generalizaciones.
El postulado de Bertrand
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
En el siglo XIX Joseph Bertrand conjeturó que siempre existe un primo entre $n$ y $2n$. En este seminario demostraremos este resultado con métodos elementales y veremos un par de aplicaciones y generalizaciones.
2021-08-27
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre primos y derivadas: Una analogía entre números y funciones
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Hay muchas demostraciones de la infinitud de los primos, así como también del resultado análogo para polinomios: infinitud de polinomios mónicos irreducibles. En esta charla partiremos dando una demostración de lo segundo por medio de derivadas, y veremos como usar derivadas aritméticas para traducir ese argumento y así demostrar de una forma nueva que hay infinitos primos.
Sobre primos y derivadas: Una analogía entre números y funciones
https://zoom.us/j/97643265416
Abstract:
Hay muchas demostraciones de la infinitud de los primos, así como también del resultado análogo para polinomios: infinitud de polinomios mónicos irreducibles. En esta charla partiremos dando una demostración de lo segundo por medio de derivadas, y veremos como usar derivadas aritméticas para traducir ese argumento y así demostrar de una forma nueva que hay infinitos primos.
2021-07-09
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Derivadas aritméticas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
La única derivada $D$ en los enteros es la función nula: la regla del producto da $D(1)=0$ y aditividad nos da $D(1+1+...+1)=0$. Así que en los enteros no puede haber derivadas interesantes... ¿o sí las hay? En esta charla construiremos un tipo de derivada aritmética bastante flexible. Mostraremos que la conjetura ABC es equivalente al hecho que dichas derivadas sean "pequeñas", lo que motiva una conjetura muy precisa sobre el tamaño de estas derivadas aritméticas.
Derivadas aritméticas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
La única derivada $D$ en los enteros es la función nula: la regla del producto da $D(1)=0$ y aditividad nos da $D(1+1+...+1)=0$. Así que en los enteros no puede haber derivadas interesantes... ¿o sí las hay? En esta charla construiremos un tipo de derivada aritmética bastante flexible. Mostraremos que la conjetura ABC es equivalente al hecho que dichas derivadas sean "pequeñas", lo que motiva una conjetura muy precisa sobre el tamaño de estas derivadas aritméticas.
2021-07-02
2pmhrs.
2pmhrs.
Ignacio Rojas. UC
Nullstellensatz combinatorio
Zoom
Abstract:
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
Nullstellensatz combinatorio
Zoom
Abstract:
En esta charla demostraremos el Nullstellensatz Combinatorio, un resultado algebraico, inspirado en la geometría, y con aplicaciones combinatorias y aritméticas. Además de demostrarlo vamos a presentar algunas aplicaciones a la teoría de congruencias.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2021-06-04
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Los enteros de Gauss al rescate
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
El anillo de los enteros de Gauss es Z[i] donde i es la unidad imaginaria. Es un dominio Euclideano así que tiene una aritmética muy parecida a la de Z, y uno podría estudiar en Z[i] problemas análogos a los de Z. Sin embargo, en esta charla veremos varias aplicaciones de esta estructura algebraica a problemas que son genuinamente sobre Z y Q, donde el anillo Z[i] viene a ayudarnos pero no es parte del problema inicial ni de la respuesta final.
Los enteros de Gauss al rescate
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
El anillo de los enteros de Gauss es Z[i] donde i es la unidad imaginaria. Es un dominio Euclideano así que tiene una aritmética muy parecida a la de Z, y uno podría estudiar en Z[i] problemas análogos a los de Z. Sin embargo, en esta charla veremos varias aplicaciones de esta estructura algebraica a problemas que son genuinamente sobre Z y Q, donde el anillo Z[i] viene a ayudarnos pero no es parte del problema inicial ni de la respuesta final.
2021-05-28
14:00hrs.
14:00hrs.
Camilo Sánchez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Ecuación de Thue y aproximación Diofantina
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Desde Liouville hasta Roth, pasando por Thue, se han obtenido teoremas que nos dan información acerca de números algebraicos irracionales aproximados por racionales, cuyas cotas han ido mejorando con el paso del tiempo. A esto le llamamos aproximación Diofantina.
Por otro lado, dado un polinomio F(x,y) homogéneo de dos variables, con coeficientes enteros, grado mayor o igual a 3 e irreducible en Q, llamamos ecuación de Thue a la ecuación Diofantina F(x,y)=c con c entero no nulo. ¿Es posible establecer una relación entre la aproximación Diofantina y una ecuación de Thue? En esta charla se verá como estos teoremas de aproximación nos permiten concluir que una ecuación de Thue tiene finitas soluciones enteras.
Ecuación de Thue y aproximación Diofantina
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Desde Liouville hasta Roth, pasando por Thue, se han obtenido teoremas que nos dan información acerca de números algebraicos irracionales aproximados por racionales, cuyas cotas han ido mejorando con el paso del tiempo. A esto le llamamos aproximación Diofantina.
Por otro lado, dado un polinomio F(x,y) homogéneo de dos variables, con coeficientes enteros, grado mayor o igual a 3 e irreducible en Q, llamamos ecuación de Thue a la ecuación Diofantina F(x,y)=c con c entero no nulo. ¿Es posible establecer una relación entre la aproximación Diofantina y una ecuación de Thue? En esta charla se verá como estos teoremas de aproximación nos permiten concluir que una ecuación de Thue tiene finitas soluciones enteras.
2021-05-07
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una invitación a puntos racionales en curvas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Esta charla será una introducción al tema de puntos racionales en curvas. Explicaremos como un dato geométrico (el género) gobierna el comportamiento de estos puntos. Este estudio será motivado con problemas Diofantinos clásicos. No se requiere material previo para entender la charla: toda la terminología será explicada.
Una invitación a puntos racionales en curvas
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Esta charla será una introducción al tema de puntos racionales en curvas. Explicaremos como un dato geométrico (el género) gobierna el comportamiento de estos puntos. Este estudio será motivado con problemas Diofantinos clásicos. No se requiere material previo para entender la charla: toda la terminología será explicada.
2021-04-23
14:00hrs.
14:00hrs.
Felipe Hernández. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de van der Waerden
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Si se dividen los números naturales en dos conjuntos, digamos, primos y compuestos, números libres de cuadrados o no, o cualquier otra división que usted piense, ¿es posible afirmar que siempre existe una progresión aritmética de largo arbitrario contenida en solo uno de estos conjuntos?. Si ahora no sólo considera dos conjuntos, sino que divide a los naturales en k conjuntos, ¿qué podemos decir respecto de la pregunta anterior?. La respuesta a esta interrogante la da el teorema de van der Waerden, en esta charla revisaremos una sorprendente demostración elemental de este teorema, que son los números de van der waerden, lo que se conoce a dia de hoy sobre ellos, y un teorema que extiende el de van der Waerden a un nivel mucho más general.
El teorema de van der Waerden
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Si se dividen los números naturales en dos conjuntos, digamos, primos y compuestos, números libres de cuadrados o no, o cualquier otra división que usted piense, ¿es posible afirmar que siempre existe una progresión aritmética de largo arbitrario contenida en solo uno de estos conjuntos?. Si ahora no sólo considera dos conjuntos, sino que divide a los naturales en k conjuntos, ¿qué podemos decir respecto de la pregunta anterior?. La respuesta a esta interrogante la da el teorema de van der Waerden, en esta charla revisaremos una sorprendente demostración elemental de este teorema, que son los números de van der waerden, lo que se conoce a dia de hoy sobre ellos, y un teorema que extiende el de van der Waerden a un nivel mucho más general.
2021-04-16
14:00hrs.
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre la densidad de los números libres de cuadrados
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Dado un número entero positivo n, decimos que es libre de cuadrados si no existe ningún entero a, con |a|>1 tal que $a^2|n$. Dicho de otra forma, n no tiene factores primos repetidos. En esta charla vamos a estimar la probabilidad de que un número natural dado sea libre de cuadrados. En otras palabras, si consideramos Q(x) como la función que cuenta cuántos números libres de cuadrados hay hasta x, calcularemos el límite cuando x se va a infinito de Q(x)/x. Además, haremos un breve análisis de algunas preguntas que pueden surgir de manera natural, e.g., ¿qué pasa con la probabilidad si consideramos números libres de k-potencias? Finalmente, demostraremos que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como suma de dos números libres de cuadrados.
Sobre la densidad de los números libres de cuadrados
Zoom (pedir link a Héctor Pastén)
Abstract:
Dado un número entero positivo n, decimos que es libre de cuadrados si no existe ningún entero a, con |a|>1 tal que $a^2|n$. Dicho de otra forma, n no tiene factores primos repetidos. En esta charla vamos a estimar la probabilidad de que un número natural dado sea libre de cuadrados. En otras palabras, si consideramos Q(x) como la función que cuenta cuántos números libres de cuadrados hay hasta x, calcularemos el límite cuando x se va a infinito de Q(x)/x. Además, haremos un breve análisis de algunas preguntas que pueden surgir de manera natural, e.g., ¿qué pasa con la probabilidad si consideramos números libres de k-potencias? Finalmente, demostraremos que todo número entero mayor que 1 puede escribirse como suma de dos números libres de cuadrados.
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