En esta charla, presentaremos algunos de los problemas de teoría de números y álgebra computacional que se encuentran en criptografía: la aritmética de grupos de curvas algebraicas, el problema del logaritmo discreto, la factorización de polinomios, el problema del vector corto en un reticulado.
Para cada problema, explicaremos su relevancia en criptografía y
presentaremos algunos resultados recientes sobre sus posibles métodos
de resolución.
* Noviembre 6, 2015:
INÉS PACHARONI (CIEM, FAMAF, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina)
Título:
Funciones esféricas y polinomios ortogonales
Resumen:
En el caso escalar, los polinomios ortogonales clásicos pueden ser vistos como funciones esféricas zonales en ciertos espacios simétricos compactos de rango uno.
En esta charla mostraremos que esta relación entre polinomios ortogonales y funciones esféricas, también esta presente en el caso matricial.
Nos concentraremos en la determinación de las funciones esféricas irreducibles asociadas al espacio proyectivo complejo G/K=SU(n+1)/ U(n)..
Construiremos una sucesión de polinomios ortogonales matriciales a partir de todas las esféricas irreducibles de un K-tipo dado. La relación de recurrencia de tres términos que satisface dicha sucesión se puede obtener explícitamente a partir de la teoría de representaciones del grupo SU(n).
La matriz semi-infinita asociada a esta relación de recurrencia es una matriz estocástica y es la matriz de transición de un cierto random walk.
* Octubre 23, 2015:
RICARDO MENARES (PUCV)
Título:
Sobre el mínimo esencial de la altura de Faltings
Resumen:
Una función altura es una manera de medir la complejidad de un
objeto aritmético. El ejemplo más simple es la altura de Weil: a un
número racional x=a/b, la altura de Weil le asigna el valor
log max{|a|,|b|},
que corresponde, grosso modo, al número de dígitos necesarios para
representar x. Esta función admite una extensión natural al conjunto
de los números algebraicos. Tal extensión es una función a valores no
negativos, que vale cero exactamente en el conjunto de las raíces de
la unidad. En particular, el valor mínimo que puede alcanzar la altura
de Weil es realizado por una infinidad de números algebraicos.
En esta charla nos focalizaremos en el caso de la altura de Faltings,
que mide el tamaño de curvas elípticas definidas sobre cuerpos de
números. Mostraremos que el valor mínimo es alcanzado por sólo una
curva elíptica y exhibiremos cotas para el primer valor de acumulación
de esta altura. Por último, presentaremos preguntas abiertas alrededor
de este tema.
Este es un trabajo en colaboración con José Burgos Gil y Juan Rivera-Letelier.
* Octubre 9, 2015:
PAOLO CALDIROLI
(Dipartimento di Matematica,Università degli Studi di Torino, Italia )
Título:
The Plateau problem for parametric surfaces with prescribed mean curvature
Resumen:
One of the most challenging problems in the Calculus of Variations is the problem of Plateau, named after the Belgian physicist who conducted many experiments with soap films and soap bubbles. In this talk we will consider the following version of the Plateau problem: given a positive constant H and a closed oriented Jordan curve C, find surfaces spanning C and with mean curvature H. If C is an oriented circle with diameter d such that dH<1, then one easily recognizes that there are two geometrically distinct solutions to the Plateau problem: the small cap and the large cap of spheres of radius 1/H containing the circle C. In 1984 this multiplicity result was proved independently by H. Brezis and J.-M. Coron, on one hand, and by M. Struwe, with a contribution of K. Steffen, on the other hand, when the supporting curve is an arbitrary closed, oriented Jordan curve with diameter d such that dH<1. When one considers a possibly variable prescribed mean curvature H(p) instead of a positive constant, in general, under reasonable conditions, multiplicity of solutions remains still an open problem. In the last part of the talk we will examine some difficulties arising in this case.
* Septiembre 25, 2015:
ARIS DANIILIDIS
(DIM, Universidad de Chile)
Título:
Geometric descent and structure in optimization
Resumen:
Starting from a dynamical system of gradient type
we shall rapidly move to phase-portrait (level set) considerations
in which the two paradigms of modern optimization theory (namely, convexity
and tameness) appear to model the asymptotic behavior. Connections
with implicit discretization schemes (proximal algorithm) will be briefly
discussed.
* Septiembre 11, 2015:
MARTIN CHUAQUI
(PUC)
Título:
Nehari y Ahlfors-Weill en el mundo armónico
Resumen:
Se revisarán algunos resultados clásicos centrales en la teoría geométrica de funciones relacionados con injectividad y extensiones cuasiconformes de funciones analíticas en el disco unidad, para mostrar cómo se pueden generalizar a transformaciones armónicas y a parametrizaciones conformes de superficies mínimas.
* Agosto 28, 2015:
MARÍA ISABEL CORTEZ
(Universidad de Santiago de Chile)
Título:
Grupos plenos asociados a una acción minimal sobre el Cantor: un
puente entre los sistemas dinámicos y la teoría de grupos
Resumen:
En esta charla introduciremos las diferentes nociones de grupos
plenos asociados a una acción minimal sobre el Cantor. Veremos las
propiedades dinámicas de estas acciones que estos grupos determinan, así
como algunas de sus propiedades algebraicas. Estas últimas los han
convertido en objetos muy interesantes de estudiar desde el punto de vista
de la Teoría de Grupos.
* Julio 10, 2015:
ALVARO LIENDO
(Universidad de Talca)
Título:
Flows on algebraic varieties
Resumen:
In this talk we present a recent characterization of additive group
actions (flows) on algebraic varieties that generalizes the usual
description of flows on differentiable manifolds via completely
integrable vector fields.
* Junio 26, 2015:
CRISTIAN GONZALEZ-AVILES
(Universidad de La Serena)
Título:
Grupos de componentes conexas de modelos enteros de variedades abelianas
Resumen:
Las variedades abelianas (definidas sobre $\mathbb Q$, por ejemplo) son variedades algebraicas conexas que poseen una estructura de grupo algebraico conmutativo. Por ejemplo, una curva el\'{\i}ptica es una variedad abeliana de dimensi\'on 1. Toda variedad abeliana $A$ posee un modelo entero (es decir, definido sobre $\mathbb Z$) $\mathcal A$ con ciertas propiedades \'utiles, constru\'{\i}do por primera vez por Andr\'e N\'eron en la d\'ecada de 1960. Dado un n\'umero primo $p$ arbitrario, es posible reducir las ``ecuaciones" que definen $\mathcal A$ m\'odulo $p$ y as\'{\i} obtener un grupo algebraico conmutativo $\mathcal A_{p}$ definido sobre el cuerpo finito $\mathbb F_{p}$. Existe un conjunto finito de n\'umeros primos $\Sigma$ tal que, si $p\notin\Sigma$, entonces $\mathcal A_{p}$ es una variedad abeliana definida sobre $\mathbb F_{p}$. Sin embargo, si $p\in\Sigma$, entonces el grupo algebraico $\mathcal A_{p}$ no es una variedad abeliana. De hecho, ni siquiera es conexo (en general). En esta charla discutir\'e el grupo de componentes conexas de $\mathcal A_{p}$ en estos primos excepcionales $p\in\Sigma$, con especial \'enfasis en el caso de las curvas el\'{\i}pticas. Una pregunta natural es c\'omo se comportan estos grupos cuando la curva el\'{\i}ptica dada se considera sobre alguna extensi\'on finita del cuerpo de base $\mathbb Q$, por ejemplo $\mathbb Q(\sqrt{2})$. La b\'usqueda de la respuesta a esta pregunta nos llevar\'a a considerar ciertas variedades abelianas de dimensi\'on 2.
(Trabajo financiado por proyecto Fondecyt 1120003. En colaboraci\'on con Alessandra Bertapelle, Universidad de Padua.)
* Junio 5, 2015:
YURI BILU
(L’Institut de Mathématiques de Bordeaux, University of Bordeaux I, France)
Título:
Uniformity in Galois representations
Resumen:
Let E be an elliptic curve defined over Q and p a prime number. We will discuss how "big" can be the number field generated over Q by the p-torsion points of E.
* Mayo 29, 2015:
LUDOVIC RIFFORD
(Institut Universitaire de France, Nice, France)
Título:
Mass Transportation on the Earth
Resumen:
We address the problem of regularity of optimal transport maps on surfaces. Given a pair of probability measures on a compact Riemannian surface, (thanks to the Brenier-McCann theorem) there is a unique map which minimizes the transportation cost with respect to the quadratic geodesic distance among all maps pushing forward the first measure to the second one. Pioneer works by Caffarelli in the 90s and Ma-Trudinger-Wang in the 00s allow us to build a bridge between the regularity properties of optimal transport maps and the geometry of the underlying Riemannian manifold. We will present necessary and sufficient conditions for the so-called Transport Continuity Property and discuss the case of small deformation of the sphere.
* Mayo 15, 2015:
XAVIER VIDAUX
(Universidad de Concepción)
Título:
Diophantine undecidability and uniform boundedness of rational points
Resumen:
We prove that under the Caporaso-Harris-Mazur conjecture, given an arbitrary integer valued polynomial $F(t)$ of degree at least $2$, multiplication is positive existentially definable in the additive group of the integers together with $1$ and a unary predicate for the range of $F(t)$. In particular, under the same conjecture, there is no algorithm to decide whether a system of first degree polynomial equations with integral coefficients has or not a solution with some prescribed variables in the range of $F(t)$.
This is joint work with Hector Pasten, partially supported by an Ontario Graduate Scholarship (at Queen's University) and a Benjamin Peirce Fellowship (at Harvard University).
This work was partially supported by the Chilean Fondecyt research project 1130134
* Abril 24, 2015:
MANUEL DEL PINO
(Universidad de Chile)
Título:
Variaciones sobre el grafico minimal de Bombieri, De Giorgi y Giusti
Resumen:
En 1969, Bombieri, De Giorgi y Giusti construyeron un contraejemplo a la conjetura de Bernstein Fleming en dimension 9 o mayor: Existe un grafico de una funcion entera que es superficie minima y no es un hiperplano. Utilizamos esta construccion para encontrar un contraejemplo a una celebre conjetura de De Giorgi sobre soluciones enteras la ecuacion de Allen Cahn en dimension 9. Esta construccion es tambien util en analisis de problemas sobredeterminados elipticos y en soluciones auto trasladantes del flujo por curvatura media.
* Abril 10, 2015:
STEPHEN GRIFFETH
(Universidad de Talca)
Título:
Catalan combinatorics, algebraic geometry, and representation theory
Resumen:
In the early 1990's, Mark Haiman, Adriano Garsia, and Claudio Procesi discovered remarkable connections between the algebraic combinatorics around Catalan numbers, the symmetric group, and symmetric functions, and the algebraic geometry of collections of n points in two dimensional space. Garsia and Haiman formulated precise conjectures, the n! and (n+1)^(n-1) conjectures, encoding these discoveries. In a tour de force appearing at the turn of the century, Haiman proved these conjectures; at about the same time, Iain Gordon proved that the same vector space appearing in the (n+1)^{n-1} conjecture could be quantized to a representation of a new algebraic object in Lie theory, the "rational Cherednik algebra". I will survey these developments, and some of the very exciting ongoing work connecting them with knot invariants and complex reflection groups.
* Marzo 27, 2015:
ANTONIO LAFACE
(Universidad de Concepción)
Título:
Cox rings
Resumen:
El resumen esta aquí.
* Marzo 20, 2015:
YVES MARTIN
(Universidad de Chile)
Título:
Series de Dirichlet asociadas a formas modulares y formas de Siegel
Resumen:
En la teoría de formas modulares de peso entero $k$ sobre el grupo $SL_2(\Z)$, las relaciones entre la serie de Fourier $f(z)=\sum_{n=1}^\infty a_n e^{2\pi i n}$ de una forma cuspidal y la serie de Dirichlet asociada $L(f,s)=\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ juegan un papel muy importante. En general uno obtiene la segunda de la primera vía una variación de la transformada de Laplace (llamada transformada de Mellin). Sin embargo, también es posible producir $L(f,s)$ (para cualquier $f$) a través del producto interno de Petersson de $f$ con cierta forma cuspidal $\Omega_{k,s}$ particular.
En esta charla explicaré lo anterior con detalle, y mostraré resultados recientes sobre una situación análoga en el caso de las formas de Jacobi (formas modulares asociadas al grupo de Jacobi $SL_2(\Z)\ltimes \Z^2$ y las formas de Siegel de grado 2 (formas modulares asociadas al grupo simpléctico $Sp_2(\Z)$).
* Marzo 2, (Lunes) 2015:
SAM PAYNE
(Yale University, United States)
Título:
Algebraic curves, tropical geometry, and moduli
Resumen:
Tropical geometry gives a new approach to understanding old
questions about algebraic curves and their moduli spaces, synthesizing
techniques that range from Berkovich spaces to elementary
combinatorics. I will discuss an outline of this method,
understanding the general fiber of a degenerating family of curves in
terms of the dual graph of its special fiber, along with a range of
applications that includes new results on the topology of the moduli
space of curves, new proofs of the fundamental theorems in the
geometry of linear series, and a new result about the Hilbert function
of the general curve of fixed degree and genus in projective space.
* Enero 22 (Jueves), 2015:
MARTIN SOMBRA
(ICREA & Universitat de Barcelona, Spain)
Título:
Point-hypersurfaces incidences
Resumen:
The field of combinatorial geometry has some of its roots in questions
asked by Paul Erdos, back in the 1940s. In the past four years, its
landscape has considerably changed due to the work of Guth and Katz,
who solved the joint problem in 3D and the Erdos distinct distance
problem. These breakthroughs were possible by the introduction of
algebraic geometry into the game.
In this talk, I will present a new polynomial partitioning result
applied to finite sets of points in a variety of codimension at most
2, generalizing the Guth-Katz
polynomial partitioning. This result will allow us to extend the
Szemeredi-Trotter theorem, to bound the number of incidences between
points and hypersurfaces in 4-dimensional Eucispace (joint work with
Basu, from Purdue).