Cursillo Configuraciones de Curvas Planas
Profesor: Giancarlo Urzúa, Departamento de Matemática
Fecha: del 4 al 8 de Enero 2021
Hora: de 14:00 a 15:00 hrs.
- ¿Cuándo una configuración es especial? Cuando a falta de parámetros, la configuración no debería existir, es un accidente. Pendiente de Chern slope como forma de medición (?).
- Estudio de números de Chern. Positividad e igualdad y desigualdad combinatoria.
- Teorema de Sylvester-Gallai: Real vs complejo y char >0.
Esencialmente, una curva plana es el conjunto solución de un polinomio en dos variables. El propósito de este cursillo es introducir propiedades generales y problemas abiertos sobre configuraciones de curvas planas, especialmente configuraciones de rectas. Nos enfocaremos en configuraciones especiales de curvas planas, las cuales tienen diversos intereses en geometría algebraica (e.g. "Bounded negativity conjecture" y constantes de Harbourne, varios problemas en geografía de superficies de tipo general, estructuras diferenciables exóticas de blow-ups del plano proyectivo complejo, resonance varieties y grupo fundamental del complemento de una curva algebraica). Prerequisito mínimo será haber pasado por un curso de álgebra lineal sobre un cuerpo cualquiera.
Para una idea aproximada del cursillo, revisar el siguiente esqueleto tentativo:
(1) Curvas planas.
- Curvas en el plano afín. Puntos suaves y singulares.
- Intersección local de curvas.
- Plano proyectivo y curvas proyectivas. Intersección global y Bezout.
- Ejemplo: Teorema de Pascal y Teorema de Pappus.
(2) Configuraciones de curvas.
- Configuraciones de curvas con cruces normales: rectas y cónicas. (Dejando abierta la puerta a configuraciones de curvas racionales en general.)
- m-puntos, t_m=número de m-puntos, números de Chern.
- Configuraciones triviales, casi-triviales, cuadrilátero completo.
- Configuraciones simpliciales y triangulación de P^2 real.
- Configuraciones plano proyectivo finito.
- Configuraciones de Ceva.
- Configuración Chilena de cónicas.
(3) Geografía para configuraciones de rectas.
- ¿Cuándo una configuración es especial? Cuando a falta de parámetros, la configuración no debería existir, es un accidente. Pendiente de Chern slope como forma de medición (?).
- Estudio de números de Chern. Positividad e igualdad y desigualdad combinatoria.
- Teorema de Sylvester-Gallai: Real vs complejo y char >0.
- Teorema de de Bruijn-Erdös.
(4) Problemas abiertos 1.
- Cotas superiores optimales para la pendiente de Chern y topología.
- Densidades de pendientes de Chern.
(5) Problemas abiertos 2.
- (opcional) Constantes de Harbourne y relación con pendientes de Chern. Debate: ¿Cómo encontrar configuraciones muy especiales? (y más allá de rectas) Configuraciones de curvas racionales.
- (opcional) Clasificación de 4-nets complejas.
Bibliografía que podría complementar parte del cursillo:
- A. Bassa, A. Ozgur "The only complex 4-nets is the Hesse configuration": https://arxiv.org/abs/2002.
02660. - T. Bauer, S. di Rocco, B. Harbourne, J. Huizenga, A. Lundman, P. Pokora, T. Szemberg "Bounded Negativity and Arrangements of Lines": https://arxiv.org/abs/1407.
2966. - I. Dolgachev "Abstract configurations in algebraic geometry": https://arxiv.org/abs/math/
0304258. - I. Dolgachev, A. Laface, U. Persson, G. Urzúa "Chilean configuration of conics, lines and points": https://arxiv.org/abs/2008.
09627. - F. Figueroa, S. Eterovic, G. Urzúa "On the geography of line arrangements": https://arxiv.org/pdf/1805.
00990.pdf. - W. Fulton "Algebraic curves": http://www.math.lsa.
umich.edu/~wfulton/CurveBook. pdf. - G. Urzúa http://www.mat.uc.cl/~urzua/
EMALCA2019.pdf.
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