# Seminario de Sistemas Dinámicos

El Seminario de Sistemas Dinámicos de Santiago es el encuentro semanal de matemáticas con mayor tradición en el país pues se realiza ininterrumpidamente desde la década del '80. Se realiza alternadamente en alguna de las instituciones de Santiago donde hay miembros del grupo de Sistemas Dinámicos. Participan así las universidades de Chile, de Santiago, Andrés Bello y Católica de Chile.

Su coordinador es Cristóbal Rivas; cristobal.rivas@usach.cl

2019-10-14
16:50-17:50hrs.
Pablo Aguirre. Utfsm, Chile
Nonlinear dynamics of propagation and containment of dengue
Sala C506 (Construcción Civil 5to piso), Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul, La Florida.
Abstract:
Arboviruses such as dengue, zyka and chikungunya are viruses transmitted to humans by mosquitoes. In particular, Aedes Aegypti mosquito is the responsible for dengue transmission. In the absence of medical treatments and vaccines, one of the control methods is to introduce Aedes Aegypti mosquitoes infected by the bacterium Wolbachia into a population of wild (uninfected) mosquitoes. The goal consists in achieving population replacement in finite time by driving the population of wild mosquitoes towards extinction while keeping Wolbachia-infected mosquitoes alive. This strategy has several advantages for control of dengue: Wolbachia decreases the virulence of the dengue infection and it reduces the lifespan of the mosquito. Moreover, mating of a female uninfected by Wolbachia and an infected male leads to sterile eggs. We consider a competition model between wild Aedes Aegypti female mosquitoes and those infected with the bacteria Wolbachia in the form of a system of nonlinear differential equations. Our goal is to examine the basin of attraction of a desired equilibrium state. For this purpose, we study how the stable manifold that forms the basin boundary of interest changes under parameter variation. To achieve this, we combine analytical tools from dynamical systems and geometric singular perturbation theory with numerical continuation methods. This allows us to present a strategy to get the desired population replacement with a minimum amount of released infected mosquitoes in a human, external intervention by choosing an appropriate combination of initial conditions and parameter values.
2019-10-14
15:45-16:45hrs.
Van Tu Le. Imt, Francia
Fixed points of post-critically algebraic endomorphisms
Sala C506 (Construcción Civil 5to piso), Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul, La Florida.
Abstract:
A holomorphic endomorphism of $\mathbb{CP}^n$ is post-critically algebraic if its critical hypersurfaces are periodic or preperiodic. This notion generalizes the notion of post-critically finite rational maps in dimension one. We will study the eigenvalues of the differential of such a map at its fixed points. When $n=1$, a well-known fact is that the eigenvalue at a fixed point is either superattracting or repelling. We prove that when $n=2$ the eigenvalues are still either superattracting or repelling. This is an improvement of a result by Mattias Jonsson. When $n \geq 2$ and the fixed point is outside the post-critical set, we prove that the eigenvalues are repelling. This result improves one which was already obtained by Fornaess and Sibony under a hyperbolicity assumption on the complement of the post-critical set.

2019-10-14
14:30-15:30hrs.
Victor Nopal Coello. Cimat, México
Construction of Herman n-rings from Siegel disk on C_p
Sala C506 (Construcción Civil 5to piso), Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul, La Florida.
Abstract:
Let $R$ be a rational map of degree $d\geq 2$ with coefficients in the non-Archimedean field $C_p$, with $p$ a prime number. Assume that the Fatou set $F_R$ associated to $R$ contains an m-cycle of Siegel disk, say $D_1, D_2, ..., D_m$. In this talk I will explain how to build a racional map $Q$ of degree $d+1$ with coefficients on $C_p$ and such that $F_Q$ contains an $m$-cycle of Herman $n$-ring coming from the Siegel disks of $F_R$
2019-10-07
16:30hrs.
Rogério Mol. Universidade Federal de Minas Gerais - Belo Horizonte
Separatrices of real analytic vector fields in dimensions two and three
Sala 1, PUC, Facultad de Matemáticas
2019-10-07
15:30hrs.
Italo Cipriano. PUC
Construction of a noninvertible minimal map
Sala 1, PUC, Facultad de Matemáticas
Abstract:
In 1979 Susan Mary Rees (coauthor of prof Jan) wrote a construction of a noninvertible minimal map, answering a question by Furstenberg. One year earlier, she had finished her PhD thesis under the supervision of prof Bill Parry. The construction of Rees consists of a very clever ''surjery'' of a minimal homeomorphism of the 2-torus. Her paper is very hard to read and many steps were left to the reader. Surprisingly, the first reference to her work appeared only in 2001, since then it has been cited regularly. In this talk, I will speak about the main steps of the original construction by Rees, using as reference the paper of Kolyada, Snoha and Trofimchuk in 2001, where all the details of the proof were filled and the original construction was finally completed.
2019-09-30
15:30hrs.
Ángel Pardo. Cmm, Universidad de Chile
Renormalización: criterio de Masur
CMM (Beauchef 851, Torre Norte, 7mo piso, Sala de Seminarios John Von Neumann)
Abstract:
En este kawin presentaré un resultado emblemático de renormalización en sistemas dinámicos conocido como criterio de Masur.
Informalmente, la renormalización es una herramienta para el estudio de sistemas dinámicos cuya "forma esencial" se repite en diferentes (infinitas) escalas. Básicamente consiste en deformar, ampliar o acelerar localmente un sistema para obtener información global sobre este.
En esta ocasión nos enfocaremos en flujos de translación: flujos lineales en superficies de translación. Una superficie de translación es una superficie compacta que se obtiene de una familia finita de polígonos en el plano con identificación de lados paralelos y de igual largo por translación, siendo el prototipo de superficie de translación el toro plano.
El proceso de renormalización consiste en deformaciones lineales de los polígonos (más cortado y pegado por translaciones de los nuevos polígonos). Más precisamente, cuando estudiamos el flujo vertical, la renormalización será vía matrices de la forma g(t) = diag(exp(t), exp(-t)), t > 0, que contraen la dirección vertical y dilatan la horizontal exponencialmente.
Presentaré una demostración del criterio de Masur que relaciona propiedades dinámicas del flujo vertical en una superficie de translación con las propiedades dinámicas de la acción de {g(t)} en el espacio de superficies de translación.
Más precisamente, mostraremos que si la órbita vía {g(t)} de una superficie de translación X tiene un punto de acumulación (es decir, g(t_n)X tiende a una superficie de translación Y, con t_n tendiendo a infinito), entonces el flujo lineal vertical en X es únicamente ergódico.
Una de las consecuencias más relevantes es el teorema de Kerckhoff—Masur—Smillie sobre la única ergodicidad del flujo lineal en casi toda dirección en toda superficie de translación.
Si el tiempo lo permite, mencionaré algunas consecuencias de estos resultados en transformaciones de intercambio de intervalo, que están estrechamente relacionadas con flujos de translación: toda transformación de intercambio de intervalo puede obtenerse como sección de Poincaré de un flujo de translación.
2019-09-30
16:30hrs.
Lei Jin. Cmm, Universidad de Chile
The Bebutov--Kakutani dynamical embedding theorem and mean dimension
CMM (Beauchef 851, Torre Norte, 7mo piso, Sala de Seminarios John Von Neumann)
Abstract:
I will start with the classical Bebutov--Kakutani theorem, which states that a real flow can be (dynamically/equivariantly) embedded in the space C(R,[0,1]) if and only of its fixed point set can be (topologically) embedded in [0,1], and further, touch possible directions in three aspects. The first direction is to improve this theorem, with a point of view towards its drawback, making it more reasonable and clearer. The second direction is about universal real flows. The third direction, provided the time is sufficient, will focus on the discrete analogue of this theorem, in which, I will introduce another rather important and newly emerging invariant (other than topological entropy) of dynamical systems: mean dimension, and meanwhile, I shall talk about its calculation (especially, for full shifts) and application (in particular, to Auslander's problem) as well as the embedding problem (mainly concentrating on the Lindenstrauss--Tsukamoto conjecture). My talk will be historical in general and will include the latest progress in this area, revealing that R-actions differ critically from Z-actions.
2019-08-26
16:30-17:30hrs.
Daniel Coronel. PUC
Estados de Gibbs geométricos con decaimiento lento de correlaciones
Sala 1, PUC, Facultad de Matemáticas
Abstract:
En esta charla estudiaremos las transiciones de fase para la función presión geométrica para parámetros Collet-Echmann en la familia cuádratica.  En particular, nos enfocaremos en las propiedades estadísticas de los estados de equilibrio en la transición de fase. Es conocido que antes de la transición de fase los estados de equilibrio para el potencial geométrico tienen decaimiento exponencial de correlaciones. También se sabe que en la transición de fase hay a lo más un estado de equilibrio y después de la transición de fase no hay estados de equilibrio. Mostraremos que en los casos donde existe un estado de equilibrio en la transición de fase  es posible realizar distintos tipos de decaimiento subexponencial de correlaciones.
2019-08-05
16:30-17:30hrs.
Sebastián Pérez. Centro de Matemática Da Universidade Do Porto, Portugal
Sala 1, PUC, Facultad de Matemáticas
Abstract:
En esta charla mostramos la existencia y unicidad de estados equilibrio para una clase de productos cruzados asociados a ciertos potenciales naturales. Aplicamos estos resultados a los ejemplos clásicos no hiperbólicos de Abraham-Smale y Shub. Este es un trabajo en colaboración con Maria Carvalho.
2019-07-22
16:30-17:30hrs.
Catalina Freijo. Ufmg
Continuidad de los exponentes de Lyapunov para cociclos lineales no uniformemente fiber bunched
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central)
2019-07-08
16:30-17:20hrs.
Andrés Navas. Usach
Distorsión asintótica e invariante de Mather para difeomorfismos
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central)
Abstract:
En esta charla abordaré el concepto de distorsión asintótica de difeomorfismos del
intervalo, introducida y explotada anteriormente para el caso del círculo. En particular, discutiré
tres resultados obtenidos en colaboración con Hélène Eynard-Bontemps:

1) La distorsión asintótica de un difeomorfismo de puntos fijos parabólicos corresponde a la variación
del logaritmo de la derivada de su invariante de Mather; en particular, un difeomorfismo de invariante
de Mather no trivial no puede ser distorsionado en el grupo de los difeomorfismos de clase $C^2$.

2) Un difeomorfismo del intervalo aproxima a la identidad por conjugación en topología $C^{1+bv}$ si y
solo si su invariante de Mather es trivial.

3) El espacio de acciones de grupos abelianos por difeomorfismos unidimensionales de clase $C^2$ es
$C^{1+bv}$ conexo por arcos.

Si el tiempo lo permite trataré también el caso de homeomorfismos afines por pedazos.
2019-07-01
15:30-16:30hrs.
Eduardo Oregon Reyes . Berkeley
The Avalanche Principle and Negative Curvature
Auditorio Jorge Krause ubicado en el segundo piso de la Facultad de Física, Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul, La Florida
Abstract:
In 2001, M. Goldstein and W. Schlag introduced the Avalanche Principle, a quantitative sufficient condition for the operator norm  $\|A_N\cdots A_1\|$ of a product of matrices in $\mathrm{SL}_2(\mathbb{R})$, to being similar to the product $\|A_N\|\cdots \|A_1\|$. Since then several refinements and generalizations have  appeared in the literature.  In this talk I will present a reformulation of this principle in terms of the geometry of the hyperbolic plane, and show how to extend it to metric spaces of negative curvature.
2019-07-01
16:40hrs.
Sebastián Burgos. Puc-Chile
Multifractal Analysis of Birkhoff averages over the symbolic space
Auditorio Jorge Krause ubicado en el segundo piso de la Facultad de Física, Av. Vicuña Mackenna 4860, Macul, La Florida
Abstract:
COMMITTEE
Mario Ponce (UC)
Carlos Vásquez (Pontificia Universidad Católica de Valparaíso)
Godofredo Iommi (UC, supervisor)
2019-06-26
09:00hrs.
Paulina Cecchi. Usach
Invariant measures in Symbolic Dynamics: a topological, combinatorial and geometrical approach
Aula Magna de la Facultad de Derecho, USACH
Abstract:
Defensa de tesis de la estudiante Paulina Cecchi, para optar a los grados de Doctora en Ciencia mención Matemática de la Universidad de Santiago de Chile, y de Docteur, spécialité Informatique  de la Universidad Paris-Diderot (Paris 7).

Directoras de tesis: Valérie Berthé y M. Isabel Cortez
Jurado de tesis: Emmanuel Jeandel, Alejandro Maass, Kostya Medynets, Ana Rechtman
2019-06-24
16:30-17:30hrs.
Ana Rechtman Bulajich. Unam
El conjunto minimal de los flujos de Kuperberg
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central).
Abstract:
En 1994, K. Kuperberg construyó ejemplos de flujos suaves sin órbitas periódicas en cualquier variedad cerrada y sin frontera de dimensión 3, demostrando así que la conjetura de Seifert es falsa. En la plática presentaré una descripción topológica del conjunto minimal de estos ejemplos, que es un conjunto minimal excepcional de dimensión topológica 2. Explicaré además algunos resultados relacionados con la forma (shape theory) y la entropía de dichos ejemplos.

Los resultados fueron obtenidos en colaboración con Steve Hurder.
2019-06-24
15:30-16:20hrs.
Italo Cipriano. PUC
Non-dense $\alpha\beta$-sets
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central).
Abstract:
An $\alpha\beta$-set E is a subset of [0,1] with the property if x belongs to E then $x+\alpha$ (mod 1) or $x+\beta$ (mod 1) too, or both. In this talk, I will provide the original proof by Katznelson of the existence of non-dense $\alpha\beta$-sets, answering a question by Engelking. For some time $\alpha\beta$-sets were left unattended, indeed, until recently, see for example [Affine embeddings of Cantor sets and dimension of $\alpha\beta$-sets, Feng, De-Jun; Xiong, Ying, 2016] and [Multi-rotations on the unit circle, Han Yu, 2019].
2019-06-17
16:30-17:30hrs.
Joel Moreira. Northwestern University
The Erdos sumset conjecture
CMM (Beauchef 851, Torre Norte, 7mo piso, Sala de Seminarios John Von Neumann)
Abstract:
The Erdos sumset conjecture predicts that any set of natural numbers with positive density must contain the arithmetic sum A+B of two infinite sets A and B. I will present a recent solution to this conjecture, obtained jointly with F. Richter and D. Robertson. The proof involves a modified version of the correspondence principle devised by Furstenberg in 1977 to convert certain problems from combinatorics into the realm of ergodic theory, and two variations of the decomposition of an arbitrary function on a measure preserving system into an almost periodic and a weak mixing components.
2019-06-17
15:30-16:20hrs.
Anh Le. Northwestern University
Multiple correlations and nilsequences
CMM (Beauchef 851, Torre Norte, 7mo piso, Sala de Seminarios John Von Neumann)
Abstract:
Multiple correlation sequences first appeared implicitly in Furstenberg's proof of Szemeredi's theorem. Bergelson, Host and Kra later proved they can be decomposed into the sum of a nilsequence and a sequence tending to zero in density. Motivated by this, Frantzikinakis asks whether we have a similar decomposition along the sequence of primes p_n, or Hardy sequence [n^c], or 2^n. In this talk, I'll answer this question affirmatively. Even though the positive answers to the prime and Hardy sequences are expected, the positive answer to 2^n is somewhat surprising and has an interesting connection with harmonic analysis.
2019-06-10
16:30-17:30hrs.
Ignacio Huerta. Usach
Linearization of a nonautonomous unbounded system with nonuniform contraction: A Spectral Approach
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central).
Abstract:
In this session we will address the topic of topological equivalence between a linear system and a nonlinear perturbation of it. We will review, as an introduction, the works carried out in the context of nonautonomous differential equations, in order to give way to my research work which involves the linearization of a nonautonomous unbounded system from a point of view of "nonautonomous spectral theory" .
2019-06-10
15:30-16:30hrs.
Andreas Koutsogiannis. The Ohio State University, Usa
Multiple averages along polynomials and applications to joint ergodicity
USACH, Sala de seminarios del 4to piso del Departamento de Matemáticas y Ciencia de la computación ( Las Sophoras nº 173, Santiago, Estación Central).
Abstract:
The limiting behavior of multiple ergodic averages is a central problem in ergodic theory for the past forty years. The main reason for this is that, from such results, one can get deep applications in many areas of mathematics as dynamical systems, combinatorics, number theory etc. In this talk we will provide a method on how someone can start with a multiple ergodic average and find, by using the concatenation theorem of Tao and Ziegler, characteristic factors for the aforementioned, along polynomials, averages. With this approach, which exploits a strong polynomial exhaustion technique induction (known as PET induction), we also answer a question due to Bergelson. This is a joint recent work with S. Donoso and W. Sun.