Coloquio de Matemática UC

El Coloquio de Matemática UC está dirigido a todo la comunidad matemática de la UC y en particular a los estudiantes de pregrado y posgrado, por lo cual se presentan de manera general los temas principales del expositor, con el propósito de motivar a los estudiantes. Esta es una instancia excelente para nuestros estudiantes de posgrado, por ejemplo.

El sitio anterior del coloquio con información sobre charlas anteriores se puede encontrar aquí.

El público se compone de personas que tienen una formación general en matemática. Estamos en particular tratando que los coloquios sean más bien generales, dirigidos principalmente a estudiantes de Matemática. Las charlas duran 50 minutos (mas discusión). Por favor adaptar el nivel de los primeros 25 minutos (por menos) de su presentación a este público. Nosotros consideramos estas sugerencias en el sitio de AMS útiles:  http://www.ams.org/profession/leaders/workshops/gcoll.pdf

2019-05-31
16:00hrs.
Isabelle Beaudry. PUC Chile
Inferencia estadística a partir de una muestra de una red social
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:

El análisis estadístico de redes sociales tuvo un crecimiento rápido en las últimas décadas. La popularidad de este campo de estudio se atribuye en parte a la amplia gama de aplicaciones de la teoría de redes sociales, por ejemplo, el análisis de interacciones humanas, de relaciones económicas y políticas entre países, de propagación de enfermedades contagiosas, de formación de enlaces en internet, etc. Debido a razones prácticas, tal como el costo alto de recolectar datos sobre una red entera y la factibilidad de almacenar una gran cantidad de datos, en muchos casos, sólo se observa una porción de la red. En esta charla hablaremos de estrategias comunes para tomar muestras de una red social y de algunos métodos para hacer inferencia sobre la dicha población conectada por una red cuando se observa sólo una muestra.

2019-05-17
16:00hrs.
José Samper. University of Miami
La caraterística de Euler, descascaramientos y teoría de matroides
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La característica de Euler es una invariante de cierto tipo de espacios que tiene una historia fascinante. Ha sido definida en varios contextos luego de su introducción en la famosa ecuación de Euler para grafos planos (V-E+F=2). Otros ejemplos clásicos con características de Euler incluyen espacios triangulados o subdivididos por poliedros. En 1852, Schläfli probó una variante de la ecuación de Euler para polítopos, asumiendo implicitamente que estos se pueden descomponer de una manera especial. La invención de la topología y la homología a principios del siglo XX probablemente retrasó la culminación de la prueba de geométrica de Schläfli, que fue finalmente complenta en 1972 por Bruggesser y Mani. Estos últimos refinaron la noción de descascaramientos y dieron una prueba muy elegante de que los polítopos se descomponen como quería Schläfli. El propósito de la charla es contar la historia de esta prueba y explicar un poco como la teoría de descascaramientos llegó a jugar un papel central en combinatoria geométrica y topológica. Terminaremos exponiendo una nueva conexión entre descascaramientos de polítopos y teoría de matroides que explica cómo ideas geométricas prueban teoremas de combinatoria.  

2019-04-12
16:00hrs.
Thomas Fuhrer. PUC Chile
Problemas Bi-Laplacianos - formulaciones variacionales, trazas y aproximaciones
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
En esta charla voy a revisar el problema bi-Laplaciano que describe la deformación de placas y es una EDP del orden cuatro.

Para definir métodos numéricos para aproximar soluciones de esta ecuación tenemos que definir y analizar formulaciones variacionales del problema.

Eso incluye:
(i)   Definición de espacios de Sobolev apropiados.
(ii)  Analisis de espacios duales y operadores de trazas.
(iii) Aproximaciones de soluciones en subespacios.

Especificamente voy a hablar sobre el caso donde la frontera es solamente Lipshitz y no convexa, lo que permite funciones singulares como soluciones del problema.
2019-03-29
16:00hrs.
Cristobal Rojas. Unab
Complejidad computacional en el análisis de sistemas dinámicos
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La importancia que actualmente tienen los computadores en el análisis, exploración y predicción de sistemas dinámicos es incuestionable. Comprender los límites de esta metodología es por tanto una tarea de gran interés, más aún si tenemos en cuenta las aplicaciones a la física y la ingeniería. En esta charla discutiremos cómo es posible usar las herramientas de la teoría de la calculabilidad y complejidad computacional para entender dichos límites, y su interacción con las propiedades dinámicas, analíticas o geométricas del sistema. En particular, revisaremos algunos ejemplos que ilustran el panorama general: si bien fenómenos de alta dificultad computacional pueden emerger en sistemas muy simples, en general se espera que el comportamiento exhibido por sistemas genéricos sea computacionalmente tratable. Todas las nociones necesarias serán introducidas en la charla.
2019-03-15
16:00hrs.
Aníbal Medina. University of Notre Dame
Conmutatividad en topología, homotopía y análisis de datos
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
En esta charla hablaremos sobre el uso de la conmutatividad en la clasificación de espacios topológicos. Recordaremos la construcción del invariante "cohomología" con su estructura de álgebra conmutativa y cómo ésta se levanta, módulo homotopias coherentes, a un modelo de cocadenas. Dicha manifestación homotópica de la conmutatividad nos entrega aún más información topológica que, gracias al desarrollo de nuevos algoritmos, puede ser efectivamente incorporada en los actuales protocolos para el análisis topológico de datos.
2019-03-08
15:00hrs.
Mark Spivakovsky. Institut de Mathématiques de Toulouse, Université Paul Sabatier
Introduction to the problem of resolution of singularities in algebraic geometry
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
The subject of this talk is the problem of resolution of singularities in algebraic geometry, but it is intended for a general mathematical audience. The problem of resolution of singularities asks whether, given an algebraic variety X over a field k, there exists a non-singular algebraic variety X' and a proper map X' -> X which is one-to-one over the non-singular locus of X. If we cover X' by affine charts, the problem becomes one of parametrizing pieces of X by small pieces of the Euclidean space k^n.

All the basic notions such as algebraic variety, singularity, birational map, etc., will be defiend from scratch. We will describe an algorithm for resolving the singularities of plane curves. We will explain how to generalize this algorithm to higher dimensions, thereby giving a brief sketch of the proof of Hironaka's celebrated theorem on resolution of singularities of varieties over fields of characteristic zero.

Time permitting, we will briefly discuss the difficulties that arise in trying to generalize Hironaka's result to fields of positive characteristic.
2019-03-08
16:00hrs.
Heisuke Hironaka. Japan Association for Mathematical Sciences / Harvard University
Embedded Resolution of Singularities in Algebraic Geometry
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Algebraic geometry underwent phenomenal transform from *geometric* to *algebraic* in the manner of concepts and proof techniques. Resolution of singularity is typical example among many other classical and/or new problems.

Personally, I had been strongly influenced and much indebted by foundational contributions of my teachers: Oscar Zariski, Masayoshi Nagata, Alexander Grothendieck and many others.

Here I want to present my own additions and implementations strictly focusing my attention on problems about embedded resolution of singularities. Technically new concepts and techniques in my own contributions will be explained by the following technical terms:

1) "Idealistic exponent" and its application to "MOIE"
2) Singularity set "S" and algebraic translation "P"
3) "Q" smoothing of arithmetic singularity
4) "Escalator-elevator"  imagery transformation of "Q" smooth
2018-11-16
16:00hrs.
Marcos Kiwi. Universidad de Chile
Grafos aleatorios hiperbólicos
sala 2
Abstract:
Los grafos aleatorios hiperbólicos (GAH) fueron introducidos recientemente como un modelo de redes del mundo real (o redes sociales). Informalmente, son grafos geométricos aleatorios donde el espacio
métrico subyacente tiene curvatura negativa (i.e., es hiperbólico). En contraste con otros modelos de redes complejas, los GAHs son simultáneamente ralos, poseen diámetro pequeño, tienen coeficiente de
agrupación (clustering) no despreciable y los grados de sus vértices siguen una ley de potencias. En esta charla haremos una pausada introducción a los GAHs, explicaremos porqué han suscitado interés y
concluiremos con un esbozo de un par de resultados de este prometedor y reciente modelo de redes sociales.
2018-10-26
16:00hrs.
Héctor Pastén. PUC Chile
Rangos de curvas elípticas y aproximación diofantina
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Las curvas elípticas son el segundo caso más simple de ecuaciones diofantinas sobre los números racionales, y sus soluciones tienen una estructura sencilla: forman un grupo abeliano finitamente generado. El rango de ese grupo es objeto de muchas conjeturas. En esta charla recordaré que se sabe (y que se cree) sobre los valores que puede tomar el rango, y explicaré una inesperada conexión con conjeturas clásicas de aproximación diofantina.
2018-10-12
16:00hrs.
Claudio Muñoz. U de Chile
Sobre la conjetura de resolución en solitones
sala 5
Abstract:
El propósito de esta charla es principalmente bosquejar ideas, ejemplos y conjeturas (más que teoremas) referentes a cómo las soluciones de ciertas "ecuaciones dispersivas no lineales" debiesen poseer un único posible estado final compuesto de "solitones" mas "radiación". Parte de la charla misma consistirá en explicar los conceptos antes mencionados, como así también explicar por qué tal problema está aún lejos de ser resuelto a cabalidad.
2018-08-31
16:00hrs.
Mauricio Duarte. Unab
¿Cuántas colisiones elásticas puede haber?
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Un problema clásico en física matemática y sistemas dinámicos es el de conocer el número total de colisiones entre n bolas idénticas de billar, en una mesa infinita. Este número depende de las condiciones iniciales de las bolas, pero es sabido que hay un máximo posible entre todas las condiciones iniciales. Por una parte, se conoce una cota superior del orden de n^(n^2), pero se creía que la cota óptima debía de ser del orden de n^2. ¡Una enorme diferencia! En esta charla presentaremos algunos resultados sobre este problema, y en particular, mostraremos una construcción de condiciones iniciales para las que el número de colisiones es de orden n^3.
2018-08-17
16:00hrs.
Natalia García. PUC Chile
Rangos de curvas elípticas y progresiones aritméticas de puntos racionales
auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Dado un sistema de ecuaciones Diofantinas, uno puede estudiar el lugar geométrico determinado por este. De esta manera es más sencillo obtener información sobre sus soluciones racionales o enteras, ya que hay variadas técnicas que nos permiten encontrar (en algunos casos) el lugar geométrico donde probablemente se encuentran estas soluciones. Esto da inicio a un área de la matemática llamada Geometría Aritmética.

En esta charla hablaré sobre conjeturas y resultados importantes en el área, y explicaré un trabajo en conjunto con Héctor Pastén donde, utilizando una versión explícita de un teorema de G. Faltings, logramos demostrar que el largo máximo de una progresión aritmética de puntos racionales en ciertas curvas elípticas es acotado en términos del invariante j y el rango, demostrando así una conjetura de A. Bremner.
2018-06-29
16:00hrs.
Daniel Remenik. U de Chile
El punto fijo de KPZ
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
La clase de universalidad de KPZ es una colección de modelos, incluyendo polímeros aleatorios dirigidos, modelos de crecimiento aleatorio y ecuaciones estocásticas de Hamilton-Jacobi, que están caracterizados por fluctuaciones con comportamiento inusual, que son independientes del modelo pero dependen de los datos iniciales, y en algunos casos están relacionados con matrices aleatorias. Una conjetura un tanto vaga en el área era que debiera existir un límite universal, invariante bajo rescalamiento, para todos los modelos de la clase, que contenga todos los tipos de fluctuaciones presentes en la clase. En esta charla describiré trabajo conjunto con K. Matetski y J. Quastel en donde logramos construir y dar una descripción completa del proceso límite, el punto fijo de KPZ, resolviendo uno de los modelos más estudiados de la clase, el proceso de exclusión totalmente asimétrico, y luego tomando límites. Este proceso universal es un proceso de Markov y puede ser entendido como un nuevo tipo de “sistema estocástico integrable”.
2018-06-07
16:00hrs.
Mircea Petrache. PUC Chile
Energy, Optimal Transport and Best Polarization asymptotics, for large configurations of points
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Large systems of points which optimize variational principles and are conjectured to form lattice-like configurations, appear in several fields of science, such as Material Science, Signal Processing, Geometric Number Theory, Superconductivity, etc.

 For a system of N points, the characterization of "best" configurations at specific low values of N usually relies on ad-hoc methods, and the spatial patterns given by optimum configurations for small N are mysterious, and unknown except for very small N. On the other hand, as the number of points N tends to infinity, crystallization is often experimentally/numerically observed, i.e. the "best" configurations become closer and closer to special lattices. Rigorous proofs of this by classical methods are in all but a few interesting cases missing, and the exponential complexity of the configuration spaces form a fundamental obstacle. Even in simplified situations, proofs rely on non-classical techniques that work across classical boundaries between fields of mathematics, such as in recent work of Viazovska.

I will present three model-problems: 1) the basic energy-minimization and packing problems, based on pairwise interactions, 2) an optimal transport problem coming from computational quantum mechanics, and 3) the so-called Chebyshev, or best polarization, problem. The talk is partly based on joint work S.Serfaty, C.Cotar, D.Hardin and E.Saff.
2018-05-25
16:00hrs.
Nicolás Libedinsky . U de Chile
Mis problemas abiertos favoritos
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Quiero presentar cinco problemas abiertos relativamente sencillos de explicar. Todos ellos son antiguos y bien conocidos y en todos tengo alguna idea (por vaga que sea) de cómo resolverlos. Los problemas tienen que ver con el célebre polinomio de Jones, los bellos grupos de trenzas y las elusivas representaciones del grupo simétrico.
2018-05-11
16:00hrs.
Alberto Mercado. Utfsm
Cotrolabilidad de EDPs por métodos espectrales
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
En esta charla introduciremos el método de los momentos, introducido por Fattorini y Russell, para probar la controlabilidad a cero de la ecuación del calor (1971), y usado posteriormente para una gran variedad de sistemas de  ecuaciones en derivadas parciales. Este método está basado en propiedades de familias de exponenciales reales, relacionadas con los valores propios del operador diferencial involucrado, en el espacio L^2(0,T).  Explicaremos las ideas básicas del método, así como su aplicación a sistemas de ecuaciones acopladas en trabajos recientes.
2018-04-13
16:00hrs.
Cristóbal Guzman. PUC Chile
Geometría y convexidad en altas dimensiones
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
Todos podemos imaginar y dibujar cubos y esferas en dimensiones 2 y 3, pero¿Qué pasa con estos objetos en dimensiones altas? En esta charla exploraremos algunas propiedades sorprendendes de cuerpos convexos cuando la dimensión tiende a infinito, las cuales se enmarcan dentro del llamado fenómeno de concentración de la medida.

Si el tiempo lo permite, también veremos conexiones de este fenómeno con dos áreas de la matemática aplicada: el cálculo de volúmenes y optimización convexa.
2018-03-23
16:00hrs.
Mario Bravo. Usach
Iteraciones de punto fijo para operadores no expansivos
Auditorio Ninoslav Bralic
Abstract:
En esta charla discutiremos algunos aspectos recientes sobre el antiguo problema de convergencia para iteraciones promediadas de punto fijo. Primero, motivaremos el estudio de este tipo de iteraciones describiendo algunas aplicaciones en diversas áreas tales como optimización, tratamiento de imágenes y teoría de juegos. Después, esbozaremos brevemente las diferentes técnicas que permiten obtener estimaciones ajustadas de tasas de convergencia bajo hipótesis sorpresivamente generales. Éstas incluyen el estudio de paseos aleatorios en los enteros y de problemas de transporte óptimo discreto recursivo. 
2017-11-24
16hrs.
Maya Jakobine Stein . Universidad de Chile
Particiones en subgrafos monocromáticos
Sala 2
Abstract:
En esta charla abordaremos un problema del tipo Ramsey. En el clasico setting de Ramsey tenemos un grafo completo K_n en n vertices, cuyas aristas vienen coloreadas con r colores y nos interesa encontrar un subgrafo monocromático de cierto tipo y de cierto tamaño. En el caso de particiones monocromáticas, lo que nos interesa ya no es solo un subgrafo, pero se busca un partición de todos los vertices en subgrafos monocromáticos de cierto tipo. Una de las preguntas centrales del área es determinar el mínimo número m tal que para cada r-coloración de las aristas de K_n existen m ciclos monocromáticos disjuntos que particionan los vértices de K_n. Hay muchas variantes de esta pregunta, por ejemplo se puede reemplazar el K_n por otro grafo. 
Después de una breve introducción a teoria de grafos, daremos una visión general del área de particiones monocromáticas el cuál tiene sus origenes en trabajos de Gyárfás de los años 60 pero ha visto mucha actividad durante la última decada.
2017-11-17
16:00hrs.
Jean Bellissard. Georgia Institute of Technology -- Westfälische Wilhelms-Universität
The topology of tiling spaces
Sala 2
Abstract:
The talk will start by giving a list of famous examples of planar tilings and showing their images. The 3D analog of those tilings are used to describe real aperiodic material, such as quasicrystals. The first fundamental mathematical object in this description is called the Hull: a compact, metrizable space endowed with an action of the space translation group. The oldest application of this construction is known under the name of "Gap Labeling Theorem". Then the explicit construction of the Hull, using the so-called "Anderson-Putnam Complex", will be described, leading to see the Hull as an inverse limit of branched oriented flat Riemannian manifolds. This construction allows to compute the Cech cohomology of the Hull, its Cech homology in maximal degree and its topological K-theory. A table of results will be given to conclude this talk.