Seminario de Teoría de Números

El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.


2019-08-23
14:00hrs.
José Esparza. Mit - UC
El Teorema de Riemann-Roch vía Análisis Harmónico
Sala 2
Abstract:
La formula de suma de Poisson en análisis harmónico relaciona el promedio de los valores de una función en una red/látice con su transformación de Fourier. Usando esta formula en el contexto de el grupo de adeles, sorprendentemente, podemos derivar el teorema de Riemann-Roch para curvas proyectivas sobre campos finitos.
2019-08-09
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
El problema de Büchi
Sala 2
Abstract:

Si tomamos cuadrados de enteros consecutivos, sus segundas diferencias dan siempre $2$. Por ejemplo $(25-16)-(16-9)=2$. Hay secuencias de cuadrados no consecutivos con la misma propiedad, como por ejemplo $0, 49, 100$, o la secuencia $36,529, 1024, 1521$. En la década de los 70, Büchi conjeturó que las únicas secuencias de 5 o más cuadrados de enteros con segundas diferencias 2 son las obvias (cuadrados de enteros consecutivos). El problema sigue abierto, pero tiene interesantes conexiones con lógica matemática, geometría algebraica, e incluso la conjetura abc. En esta charla trataremos de entender mejor el problema, y vamos a resolver su análogo para polinomios.

2019-06-21
14:00hrs.
Benjamín Barrios. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre números felices
Sala 2
Abstract:
Dado un número natural, iteramos el proceso de sumar los cuadrados de sus dígitos. Si este proceso termina en 1, el número original es llamado número feliz, en caso contrario es llamado infeliz (o triste). En este seminario trabajaremos con la definición anterior, pero en una base arbitraria. Además, se mostrarán propiedades sobre estos números. Por último, se analizarán ciertas preguntas: ¿son infinitos?, ¿cuál es la densidad de estos números en los naturales?, entre otras.
2019-06-14
14:00hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre la construcción iterativa de polinomios irreductibles
Sala 2
Abstract:
Dado un cuerpo $F$, describir una extensión de grado $n$ es equivalente a dar un polinomio irreductible de grado $n$. En computación interesa el caso en que $F$ es un cuerpo finito y el problema es construir explícitamente polinomios irreductibles con coeficientes en $F$ y de grado arbitrariamente alto.
 
Tradicionalmente lo que se ha hecho es partir con un polinomio irreductible $f$ y aplicar sucesivamente transformaciones que consisten en componerlo con otro polinomio de grado al menos $2$, o bien con cuocientes de polinomios. El juego es identificar transformaciones específicas y condiciones sobre el polinomio inicial que garanticen que las iteraciones sucesivas siguen otorgando polinomios irreductibles.
 
Existen en la literatura algunas transformaciones favoritas, que dan propiedades suplementarias a los polinomios que van saliendo (palíndromos, que generan bases normales, etc). Las transformaciones que existen suelen aparecer en contextos y con motivaciones dispares.
 
De manera un poco sorprendente, resulta que usando conceptos básicos de teoría de Galois y una pizca de geometría, es posible describir un marco unificado que reúne a casi todas las transformaciones que se encuentran en la literatura y producir una plétora de nuevas transformaciones. En esta charla describiré ese marco y señalaré algunas preguntas que se presentan, que pueden ser adecuadas para proyectos de fin de licenciatura o magister. Se trata de un trabajo en colaboración con Alp Bassa.
 
2019-06-07
14:00hrs.
Bruno Andrades. José Victorino Lastarria
Demostración de la incompatibilidad de dos conjeturas relacionadas con primos
Sala 2
Abstract:
En 1923 G. H. Hardy y J. E. Littlewood publican un artículo, que entre otras cosas, daba a conocer dos conjeturas relacionadas con números primos; la primera, la conjetura de las $k$-tuplas la cual es una generalización de la conjetura de los primos gemelos; y la segunda una conjetura que habla acerca de la distribución de los primos, más específicamente, que ningún intervalo de largo $x$ tiene más de $\pi(x)$ primos, donde $\pi$ es la función contadora de primos. Demostraremos en base al trabajo de Ian Richards en 1974 que estas conjeturas son de hecho incompatibles.
2019-05-31
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Raíces de la unidad y curvas algebraicas que son grupos
Sala 2
Abstract:
Como hemos visto en anteriores charlas, en un ejemplo explicito como las curvas elípticas, es muy útil que una curva algebraica tenga estructura de grupo. El objetivo principal de esta charla es notar bajo que condiciones los ceros de un polinomio $f(X,Y)$ es un subgrupo de las unidades del anillo $\mathbb{C}^2$ bajo la multiplicación, por ejemplo $f(X,Y)=XY-1$. La teoría de Galois sobre cuerpos ciclotómicos, el teorema del número primo sobre progresiones aritméticas y el principio de unicidad juegan un papel importante en la prueba del teorema principal.
2019-05-24
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Series de Ramanujan-Fourier y los primos gemelos, II.
Sala 2
Abstract:
Luego de recordar los conceptos fundamentales sobre series de Ramanujan Fourier, voy a presentar algunos resultados centrales de la teoría que dejan en evidencia la analogía con la teoría clásica de series de Fourier. Finalmente, mostraremos cómo este diccionario entre aritmética y análisis permite predecir una fórmula precisa de conteo de primos gemelos. 
2019-05-17
14:00hrs.
Camilo Sánchez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Series de Ramanujan-Fourier y los primos gemelos
Sala 2
Abstract:
Se presentará el problema de los primos gemelos como motivación para entender las sumas de Ramanujan y sus propiedades, así posteriormente analizar las series de Ramanujan-Fourier, y sus coeficientes.
2019-05-03
14:00hrs.
Nicolás Vilches. Pontificia Universidad Católica de Chile
El Teorema de Hasse para curvas elípticas
Sala 2
Abstract:
En esta charla estudiaremos un teorema debido a Hasse, que da una cota para la cantidad de puntos de una curva elíptica E sobre un cuerpo finito. Partiremos dando una breve introducción al mundo de las curvas elípticas, para luego presentar el teorema y dar ejemplos concretos donde se verifica. Posteriormente, discutiremos algunas herramientas técnicas (como formas bilineales e isogenias) que permitirán dar una prueba completa de este resultado. 
2019-04-12
14:00hrs.
Marcos Morales. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Fekete y diámetro transfinito
Sala 2
Abstract:
En este seminario se dará la definición de lo que son los puntos de Fekete y se explicará lo que es el diámetro transfinito, se usarán herramientas como la desigualdad de Hadamard y la matriz de Vandermonde para calcular los puntos de Fekete y el diametro transfinito del circulo unitario.
2019-04-05
14:00hrs.
Vicente Monreal. Pontificia Universidad Católica de Chile
Criterio de irreductibilidad de Cohn
Sala 2
Abstract:
Se presentará el criterio de Cohn, como resultado del estudio de polinomios en $\mathbb{Z}[x]$, que ejemplifica la profunda relación entre números primos y polinomios irreducibles.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2019-03-29
14:00hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Teorema de Monsky
Sala 2
Abstract:
Se introducirá el concepto de norma 2-ádica junto con técnicas de coloración para probar que no se puede dividir un cuadrado en una cantidad impar de triángulos de la misma área.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2019-03-22
14:00hrs.
Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Alturas en Teoría de Números
Sala 2
Abstract:
En esta charla vamos a definir algunas funciones de altura, las cuales son esencialmente una manera de medir complejidad aritmética, y constituyen una herramienta fundamental. Veremos también algunas de sus propiedades aplicadas a diversos temas en teoría de números.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2019-03-15
14:00hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
La constante de Hermite
Sala 2
Abstract:
Un empaquetamiento de discos en el plano es una familia de discos del mismo radio y cuyos interiores no se intersectan. No es posible cubrir el plano con un empaquetamiento de discos, por lo que la pregunta natural es encontrar uno que recubra la mayor área posible. La respuesta involucra un cierto reticulado del plano.
 
En esta charla consideraremos empaquetamientos de bolas en un espacio euclidiano de dimensión arbitraria n. Nos restringiremos a empaquetamientos provenientes de reticulados. La n-ésima constante de Hermite mide la eficiencia, en términos de volumen recubierto, que puede alcanzar un empaquetamiento de bolas en tal espacio. 
 
La constante de Hermite es conocida solo para valores pequeños de n. También se dispone de información sobre su valor asintótico. Explicaremos algunos de estos resultados, así como las preguntas abiertas. No asumiremos conocimientos especializados de Teoría de Números.

http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-11-20
15:30hrs.
Gabriel Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Curvas elípticas y cuadrados mágicos de cuadrados
Sala 5
Abstract:
En esta charla, siguiendo un articulo de Robertson, demostraremos una equivalencia entre un problema de cuadrados mágicos y x-progresiones aritméticas en curvas elípticas. Revisaremos que se sabe al respecto y algunos problemas relacionados.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-11-06
15:30hrs.
Marcos Morales. Pontificia Universidad Católica de Chile
Aplicación del principio local-global a formas cuadráticas binarias
Sala 5
Abstract:
En este seminario utilizaremos el principio local-global y herramientas como el símbolo de Hilbert y el símbolo de Hasse para responder la pregunta de que números primos son representados por una forma cuadrática binaria.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-10-30
15:30hrs.
Fernando Figueroa. Pontificia Universidad Católica de Chile
El problema de Kakeya en cuerpos finitos
Sala 5
Abstract:
Un conjunto de Kakeya, en un espacio euclideo, es un conjunto que contiene un segmento de largo 1 en cada dirección.
Un problema abierto (para n>2) es la conjetura de Kakeya dice que en $\mathbb{R}^n$ los conjuntos de Kakeya tienen dimensión de Hausdorff y de Minkowski igual a n. En esta charla mostraremos el simil en cuerpos finitos; que dice que en  $\mathbb{F}_q^n$ los conjuntos de Kakeya tienen cardinalidad mayor que $c_nq^n$.

http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-10-23
15:30hrs.
Juan Pablo Vega Mac-Namara. Pontificia Universidad Católica de Chile
Postulado de Bertrand
Sala 5
Abstract:
Demostraremos que para cada x>1 siempre hay un primo entre x y 2x. Vamos a realizar la demostración propuesta por Erdös y hablaremos sobre algunas aplicaciones del teorema. 
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2018-10-16
15:30hrs.
Sergio Troncoso. Pontificia Universidad Católica de Chile
Polinomios que inducen inyecciones de Q^2 en Q
Sala 5
Abstract:
Harvey Friedman se cuestionó sobre la existencia de polinomios definidos en $\mathbb{Q}[x,y]$ que puedan inducir una función inyectiva de $\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ en $\mathbb{Q}$. En la charla mostraremos como Poonen da una respuesta positiva a la pregunta imponiendo una hipótesis que puede cumplirse asumiendo la conjetura de Bombieri-Lang.
http://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2018-10-09
15:30hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Conjuntos Diofantinos, el décimo problema de Hilbert y polinomios que producen primos
Sala 5
Abstract:
Se darán nociones de computabilidad y de conjuntos diofantinos para enunciar el teorema DPRM y poder dar respuesta al décimo problema de Hilbert. También se darán algunas consecuencias de dicho teorema.
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