Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días lunes a las 14:00hrs, en la Sala 2 de la Facultad de Matemáticas.
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).

2018-10-08
14:00hrs.
Maximiliano Leyton. Universidad de Talca
Resoluciones simultáneas de singularidades, deformaciones y espacios de m-jets
Sala 2
Abstract:
Una variedad algebraica afín es el conjunto de soluciones de un sistema de ecuaciones polinomiales, y es uno de los objetos de principal interés en la geometría algebraica. El estudio de su lugar singular es uno de los temas fundamentales del área. Para estudiarlo se utilizan diferentes técnicas, por ejemplo: creación de invariantes combinatorios (topológicos, analíticos, algebraicos, etc..), resolución de singularidades, deformaciones de la estructura algebraica, espacios de m-jets, etc..

En el caso de singularidades aisladas de hipersuperficies complejas de dimensión n, uno de los invariantes combinatorios más importante es el número de Milnor (El rango del n-ésimo grupo de homología de la fibra de Milnor). Si consideramos una deformación de la hipersuperficie que preserva el número de Milnor, es natural hacer las siguientes preguntas: ¿el tipo topológico de la deformación se mantiene constante? ¿existe resolución simultánea (incrustada)? ¿se induce una deformación de los espacios de m-jets? etc..
 
En esta charla introduciremos los conceptos básicos y resultados conocidos al respecto. Al final de la charla trataremos algunos resultados recientes obtenidos en colaboración con Mark Spivakovsky (Universidad de Tolouse) y Hussein Mourtada (Universidad Paris Diderot).
2018-09-24
14:00hrs.
Yves Martin. Universidad de Chile
Sobre coeficientes de Fourier que determinan formas de Siegel de grado 2
Sala 2
Abstract:
Los coeficientes de Fourier de una forma cuspidal de Siegel de grado 2 están indexados por el conjunto J de matrices simétricas, semi-enteras, definidas positivas. La colección completa determina la forma de Siegel univocamente, sin embargo no es necesario conocerlos todos para determinar completamente la forma cuspidal. En 1981 Zagier mostró que bastaba conocer los coeficientes indexados por las matrices primitivas en J. y Saha, en 2013, mostró que los coeficientes indexados por matrices con determinante igual a un discriminante fundamental impar eran suficiente. 
 
En esta charla veremos que los coeficientes indexados por matrices diagonales con determinante igual a un discriminante fundamental par son suficientes. La discusión incluirá una introducción sencilla a los elementos de la teoría de formas de Siegel que se necesiten.
2018-09-10
14:00hrs.
Sebastián Rahausen. Universidad de Chile
Inmersiones de Galois de variedades proyectivas
Sala 2
Abstract:
En 2007 Hisao Yoshihara introdujo una noción notable para el estudio de variedades proyectivas y sus cuerpos de funciones la cual es llamada inmersión de Galois.
En esta charla introduciremos las nociones y resultados básicos sobre las inmersiones de Galois. Plantearemos algunos problemas que surgen naturalmente y veremos su aplicación al estudio de ciertas variedades.
2018-09-03
14:00hrs.
Xavier Vidaux. Universidad de Concepción
Conexión entre un resultado de Uchida y uno de Lüneburg con respecto a la monogeneidad de campos de números
Sala 2
Abstract:
En 1878, Dedekind dio un criterio para decidir si un primo divide al índice de un orden en un orden maximal. En esta charla, discutiremos la conexión entre dicho criterio, un criterio de Uchida, y un criterio de Lüneburg. 
Es un trabajo en conjunto con Carlos R. Videla. 
2018-08-27
14:00hrs.
Damaris Schindler. Utrecht University
Diophantine inequalities for ternary diagonal forms
Sala 2
Abstract:
We discuss small solutions to ternary diagonal inequalities of any degree where all of the variables are assumed to be of size P. We study this problem on average over a one-parameter family of forms and discuss a generalization of work of Bourgain on generic ternary diagonal quadratic forms to higher degree. In particular we discuss how these Diophantine inequalities are related to counting rational points close to varieties.
2018-08-20
14:00hrs.
Anita Rojas. Universidad de Chile
Acciones de grupo en Superficies de Riemann y Variedades abelianas
Sala 2
Abstract:
Comenzaremos definiendo rápidamente los objetos de estudio: Superficies de Riemann y Variedades Abelianas. Luego estudiaremos algunas consecuencias de considerar grupos actuando en ellas. En particular estudiaremos la llamada descomposición según el álgebra de grupo de una variedad abeliana con acción, y la aún-no-del-todo-clara relación con la clase topológica de la acción. Mencionaremos algunas preguntas abiertas al respecto.
 
En una segunda parte, estudiaremos descomposiciones que no descansan en las simetrías de la variedad, lo que permite ir más allá de la descomposición según el álgebra de grupo y es quizás una forma de atacar algunos de los problemas abiertos que mencionaremos antes.
2018-08-13
14:00hrs.
Sergio Troncoso. Pontificia Universidad Católica de Chile
Algunos resultados topológicos sobre los esquemas puntuales de Hilbert y los esquemas cociente
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es presentar los resultados básicos sobre la topología de los esquemas puntuales de Hilbert $X^{[n]}$, para curvas y superficies. En especial se enfatiza en el caso $X = \mathbb{P}^2$, al final se presenta una generalización natural del esquema puntual de Hilbert llamado el esquema Quot y se mostrará algunos resultados nuevos. 
2018-08-06
14:00hrs.
Amalia Pizarro. Universidad de Valparaíso
Crecimiento del conductor de Artin
Sala 2
Abstract:
Si $K$ es un cuerpo de números tal que $K/\mathbb{Q}$ es Galois y $\chi$ el caracter de una representación de $\mathrm{Gal}(K/\mathbb{Q})$, el conductor de Artin $f_{\chi}$ asociado a $\chi$ es un entero positivo que aparece en la ecuación funcional de la función $L$ de Artin de $\chi$. En algún sentido, este invariante mide la complejidad de la función. Se relaciona con el discriminante $D_K$ del cuerpo $K$ vía la fórmula conductor-discriminante.

Sobre discriminantes, de los trabajos de Minkowski se sabe que existe una constante $C$ tal que $|D_K|>C^{[K:\mathbb{Q}]}$. Lo anterior también fue probado para conductores por Odyzko en 1977 y mejorado por P-M. en 2011.

En 1978 utilizando torres de cuerpos de clases infinitas, J. Martinet muestra la existencia de una sucesión de cuerpos de números $K_n$ con grado creciente y $|D_{K_n}|^{1/[K_n:\mathbb{Q}]}$ acotado.

En esta charla revisaremos algunos de estos resultados clásicos y mostraremos que lo anterior también vale para conductores de Artin. En particular mostraremos la existencia de una sucesión de caracteres de Artin con grado creciente y con $f_{\chi}^{\chi(1)}$ acotado.
2018-07-04
14:30hrs.
Benoit Loisel. Ens Lyon
Explicit minimal generation of some linear pro-p groups
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $G$ be a semisimple group defined over a non-Archimedean local field $K$, typically $SL_n(\mathbb{Q}_p)$, with residual characteristic $p$. We have a topological group structure on the group of rational points $G(K)$. The maximal compact subgroups of $G(K)$ can be realized as some stabilizers for a suitable action of the group $G(K)$ on a polysimplicial complex called the Bruhat-Tits building.
In this talk, we begin with a brief introduction to the theory of Bruhat-Tits buildings, which is used to describe the maximal compact and pro-$p$ subgroups of $G(K)$. The latter play a role analogous to that of the $p$-Sylows of a finite group and are, in particular, pairwise conjugate. Under suitable assumptions, we can explicitly describe a minimal set of topological generators of a maximal pro-$p$ subgroup. The minimal number of these topological generators is then linear in some combinatorial datum defined from $G$, namely the rank of a well-chosen root system.
2018-06-27
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. Pontificia Universidad Católica de Chile
Variedades hiperbólicas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Luego de definir y dar ejemplos de variedades hiperbólicas, discutiré sobre su relevancia y existencia, finalizando con un corolario de un trabajo en conjunto con Natalia García sobre la existencia de intersecciones completas hiperbólicas de grados bajos. Esta última parte la explicaré a través de variedades cuboides, las cuales son generalizaciones de la variedad del problema del cuboide perfecto de Euler. Indicaré preguntas abiertas geográficas que quedaron en el camino. 
2018-06-20
14:30hrs.
Matías Alvarado. Universidad de Chile
Puntos fijos en endomorfismos de toros complejos y variedades abelianas
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En el último tiempo ha sido bastante fructífero estudiar aspectos asintóticos en geometría algebraica. Por este motivo, en esta charla aplicaremos este método para estudiar ciertas propiedades de toros complejos. Más específicamente, estudiaremos el número de puntos fijos de las iteraciones de un endomorfismo, y como los distintos comportamientos de este número pueden dar información sobre el toro. Para esto, usaremos herramientas de aproximación diofantina y teoría de números, como la medida de Mahler.
En la segunda parte de la charla estudiaremos el caso de las variedades abelianas simples, y como el comportamiento asintótico se relaciona en este caso con el tipo de álgebra de endomorfismos que presenta la variedad. Para finalizar, veremos que un endomorfismo define cierto sistema dinámico, y se mostrará cuando un número de Salem puede aparecer como entropía de dicho sistema, lo cual dependerá del tipo de multiplicación de la variedad y del comportamiento asintótico de los puntos fijos.
2018-06-13
14:30hrs.
Matthieu Arfeux. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Espacio de Berkovich y compactificación de Deligne-Mumford en dinámica holomorfa
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Inspirado de una compactificación introducida por Deligne y Mumford, desarrollé en mi tesis un vocabulario bastante simple para compactificar el espacio de moduli de fracciones racionales de grado dado. Éste permite dar una idea más intuitiva de la dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich. En otras palabras, traté de dar una "buena" compactificación del espacio naturalmente estudiado en dinámica holomorfa (iteración de fracciones racionales en la esfera de Riemann) mediante la introducción de dinámica en árboles de esferas, lo cual se relaciona muy bien con la dinámica no arquimedeana.
La dinámica sobre la linea proyectiva de Berkovich se usa bastante también en teoría de números, pero generalmente el formalismo asociado a este objeto lo hace difícil de entender a través de la literatura. Durante esta charla,expondré de manera heurística lo que es el espacio de Berkovich con la dinámica asociada a una fracción racional en este mismo, y mostraré como se relaciona con mi tesis de doctorado y preguntas interesantes de dinámica holomorfa.
2018-06-06
14:30hrs.
Stephen Griffeth. Universidad de Talca
Aplicaciones de las fórmulas de las normas de polinomios ortogonales en la teoría de representaciones
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Explicaré como las fórmulas explícitas para las normas de polinomios ortogonales entran en dos problemas con origen en la teoría de representaciones de álgebras de Cherednik: primero, en la clasificación de representaciones unitarias de álgebras de Cherednik, y segundo, en la construcción de una equivalencia de Morita entre el álgebra de Cherednik y su sub-álgebra esférica (la cuál tiene una relación íntima con la geometría del esquema de Hilbert de puntos en una superficie). Mi intención es dar una charla para un público general de matemáticos, y no asumiré ninguna familiaridad con el álgebra de Cherednik ni la teoría de representaciones.
2018-05-30
14:30hrs.
Sebastián Reyes. Universidad de la Frontera
Superficies de Riemann determinadas por sus grupos de automorfismos
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Los grupos de automorfismos de superficies de Riemann compactas han sido extensamente estudiados, atrayendo la atención de importantes matemáticos, como Wiman, Hurwitz y Klein, entre otros. Un resultado clásico asegura que el orden del grupo de automorfismos de una superficie de Riemann compacta de género g ≥ 2 está acotado por 84(g − 1).
Un interesante problema para considerar es entender en qué medida el orden del grupo de automorfismos puede determinar la superficie de Riemann. Este problema relaciona aspectos algebraicos y geométricos.
El objetivo de esta charla es discutir algunos ejemplos clásicos.
2018-05-23
14:30hrs.
Nicolas Thériault. Universidad de Santiago de Chile
Resolver el logaritmo discreto utilizando información parcial
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Calcular el logaritmo discreto en un grupo cíclico genérico (sin estructura especial utilizable) es un problema computacional difícil, y es a la base de muchos criptosistemas actuales.  En grupos escritos aditivamente, la operación principal de la encriptación es la multiplicación escalar (calcular la suma de $r$ copias de un generador), y existen varias técnicas para hacer este cálculo más eficiente. En algunas situaciones, el trabajo computacional hecho durante la multiplicación escalar puede dejar filtrar información sobre el escalar mismo. En esta charla veremos como evaluar el efecto práctico (sobre la dificultad del logaritmo discreto) cuando la multiplicación escalar dejar filtrar una parte de la información sobre el escalar mismo.
2018-05-09
14:30hrs.
Pablo Quezada. Pontificia Universidad Católica de Chile
Cocientes suaves de variedades abelianas
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Daremos una clasificación de los cocientes A/G que son suaves, donde A es una variedad abeliana de dimensión mayor o igual a 3 y G es un grupo de automorfismos finito de A. Para esto, nos reduciremos al caso en que la representación analitica de G es irreducible. Estudiaremos además en detalle dos construcciones explícitas de tales cocientes.
Si el tiempo lo permite, veremos el caso de dimensión 2.
2018-05-02
14:30hrs.
Héctor Pastén. Harvard University
Puntos algebraicos y sus alturas
Sala de Seminarios, Departamento de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
La altura de un punto algebraico en una variedad es una medida de su complejidad aritmética. Entre las varias formas de construir alturas uno puede mencionar: alturas de Weil, alturas de Neron-Tate, alturas de Arakelov. Cada una tiene sus ventajas y hay comparaciones entre ellas. El propósito de la charla es explicar algunos aspectos bastante modestos de esta historia en el caso más sencillo posible: puntos en curvas. Luego de algunos comentarios generales, me enfocaré en un caso aun más específico donde la teoría se vuelve explícita ya que uno tiene fórmulas precisas para dichas alturas: los puntos de Heegner en curvas de Shimura. Explicaré también la relación ya clásica de dichas alturas con la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer, así como también una conexión más reciente con la conjetura abc. La charla será más bien de carácter impresionista.
 
2018-04-25
14:30hrs.
Ignacio Saavedra. Universidad de Chile
Edificios de Bruhat-Tits
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
En los años 50 J. Tits introdujo una construcción geométrica llamada "edificios esféricos", los cuales son complejos simpliciales que contienen subcomplejos finitos que triangulan a la esfera, dichos subcomplejos se llaman (de)(a)partamentos.
La idea de está construcción se basa en la búsqueda de espacios, en los cuales, un grupo dado actúe preservando las propiedades geométricas.
 
Posteriormente Bruhat y Tits construyeron edificios en los cuales los (de)(a)partamentos son una triangulación de un espacio Euclideano, dichos edificios, conocidos como Edificios de Bruhat-Tits o Edificio Euclideano, están asociados con ciertos grupos algebraicos lineales sobre un cuerpo local no arquimediano K.
 
En esta charla, definiremos los edificios de Bruhat-Tits desde lo básico y daremos algunos ejemplos para finalizar con una breve explicación de mi trabajo de tesis.
2018-04-18
14:30hrs.
Mathieu Florence. Université Pierre Et Marie Curie (Paris 6)
Splitting families in Galois cohomology
Sala A, Facultad de Ciencias, Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:
Let $F$ be a field, and let $A/F$ be a central simple algebra. Recall that $A$ is said to be split, if $A$ is isomorphic to a matrix algebra over $F$. The Severi-Brauer variety of $A$, denoted by $SB(A)$, is a variety over $F$, with the following remarkable property: for any field extension $E/F$, the variety $SB(A)$ has an $E$-point if and only if $A$ splits over $E$. In this talk, we will discuss a vast generalization of this classical construction.

Namely, let $n\geq 2$ be an integer, and let $x$ be a Galois cohomology class in $H^n(F,A),$ where $A$ is a finite Galois module over $F$. We will explain how to build an ind-variety $V(x)$, defined over $F$, such that the following holds. For any field extension $E/F$, $V(x)$ has an $E$-point if and only if $x$ vanishes in $H^n(E,A)$. This is joint work with Cyril Demarche (Paris 6).

[OJO! Hay cambio de sala. Para los que no sepan llegar, un grupo partirá desde el departamento de matemáticas (el lugar habitual) 5 minutos antes de la charla.]
2018-04-11
14:30hrs.
Tomás Seguel. Universidad de Santiago de Chile
Sobre sumas de cuadrados en R(x,y) y curvas elípticas en R(x)
Sala de Seminarios, Dpto de Matemáticas. Las Palmeras 3425, Universidad de Chile
Abstract:

En esta charla se expondrá el resultado principal de un paper de Cassels, Ellison y Pfister (1970).
Toda función de R(X,Y) semidefinida positiva es una suma de cuadrados de R(X,Y) (Hilbert 1893), más aún, es conocido que todas ellas se pueden escribir como una suma de cuatro cuadrados de R(X,Y) (Landau 1906). Sin embargo tuvo que transcurrir bastante tiempo antes de lograr responder a la pregunta de si cuatro cuadrados es la cantidad mínima con la cual se puede escribir cualquiera de estas.
Durante la charla se exhibirá el primer ejemplo de una función semidefinida positiva en R(X,Y) que no es una suma de tres cuadrados de R(X,Y), el llamado “polinomio de Motzkin”, respondiendo así a la interrogante planteada previamente. Para realizar esto, veremos que el polinomio de Motzkin tiene asociada cierta curva elíptica, en donde la información de ser una suma de tres cuadrados se traduce en la existencia de ciertos puntos racionales de esta en R(X). Así, el problema principal consiste en estudiar el grupo de los puntos racionales de la curva elíptica.