Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SANTAS)

El Santiago Number Theory and Algebra Seminar (SaNTAS) es un seminario de investigación organizado en conjunto por la Universidad de Santiago de Chile, la Universidad de Chile y la Pontificia Universidad Católica de Chile. Nos reuniremos este semestre los días martes a las 16:30hrs, en la Universidad de Santiago de Chile.
Los expositores serán investigadores invitados que trabajan en temas afines al álgebra y teoría de números, y está orientado a estudiantes de postgrado e investigadores de universidades locales.

Organizadores: David Grimm (Usach), Giancarlo Lucchini (UCh), Natalia García (UC).

2019-06-18
16:30hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
El décimo problema de Hilbert para ciertos anillos de enteros de grado seis
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
El décimo problema de Hilbert pedía un algoritmo para decidir existencia de soluciones enteras de ecuaciones Diofantinas. En 1970 Matiyasevich terminó una linea de trabajo de Davis, Putnam y Robinson, demostrando que el algoritmo requerido no existe. Naturalmente uno quiere un resultado similar no solamente para los enteros usuales, sino también para anillos de enteros en campos de números, pero el caso general sigue abierto y con muy poco progreso en los últimos 30 años. En esta charla resolveré el problema para los enteros de ciertos campos de números de grado 6. La demostración se basa en teoría de Iwasawa ciclotómica para curvas elípticas y en congruencias de puntos de Heegner; ambos métodos se han mantenido ajenos al problema hasta ahora. Esto es trabajo en conjunto con Natalia Garcia-Fritz.
2019-06-11
16:30hrs.
Fernando Herrera. Universidad de Chile
Una serie de Koecher-Maass en varias variables
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
La serie de Koecher-Maass es una serie del tipo Dirichlet construida a partir de los coeficientes de Fourier de una forma cuspidal de Siegel arbitraria. Si esta serie es evaluada en un número complejo obtenemos un funcional lineal del espacio vectorial de las formas cuspidales de Siegel. Tal funcional tiene asociado una forma cuspidal llamada núcleo integral y ellos han sido estudiados en varios tipos de formas automórficas.
 
En esta charla comenzaremos definiendo las series de Koecher-Maass y su respectivo núcleo integral. Comentaremos las series y núcleos integrales obtenidos en otras formas automórficas estudiadas en los últimas decadas. En la segunda mitad de la charla nos enfocaremos en una serie: la serie de Koecher-Maass asociada a una forma cuspidal de Siegel de grado tres arbitraria torcida por la serie de Eisenstein-Selberg. Exhibiremos explícitamente su núcleo integral y algunas de sus propiedades analíticas, por ejemplo sus ecuaciones funcionales. Si el tiempo lo permite, mostraremos una fórmula del tipo Lipschitz en el espacio de Siegel de grado tres que fue crucial para escribir nuestro núcleo integral como una serie de series de Poincaré.
2019-06-04
16:30hrs.
Luis Arenas. Universidad de Chile
El árbol de Bruhat-Tits y el álgebra de matrices
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
Mostraremos la conexión que existe entre el Árbol de Bruhat-Tits para $PSL_2$ sobre un cuerpo local k, su definición como árbol de bolas que se usa para dar una intuición básica de la teoría de cuerpos no arquimedianos, y su aplicación a la estructura del álgebra de matrices $\mathbb{M}_2(k)$. Mostraremos como nos permite describir el conjunto de órdenes maximales que contienen a un suborden fijo dado. En la segunda parte veremos algunas aplicaciones, como el problema de la Selectividad y el Cálculo de grafos cocientes.
2019-05-28
16:30hrs.
Marco Godoy. Universidad de Chile
Acciones de grupos de unidades de ordenes de Eichler sobre el arbol de Bruhat-Tits, asociados a divisores de grado 1 y 2
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
En esta charla, el problema a resolver consiste en estudiar la acción del grupo de unidades $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$, asociado a un orden de Eichler $\mathfrak{E}$, sobre el árbol de Bruhat-Tits $\mathfrak{T}(K)$, definido sobre el cuerpo local $K=\mathbb{F}_q((t^{-1}))$, este último visto como la completación del cuerpo de funciones racionales $\mathbb{F}_q(t)$ en el lugar $\infty$. Como resultado de dicho análisis, se obtienen el grafo cociente asociado a esta acción. Específicamente, en esta charla, el orden $\widetilde{\mathfrak{E}}$ se define como $$\widetilde{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{F}_q[t] & \mathbb{F}_q[t] \\ N\mathbb{F}_q[t] & \mathbb{F}_q[t]\end{array}\right),$$
donde $N\in \mathbb{F}_q[t]$ es un polinomio de grado 1 o 2. Este orden puede interpretarse como $$\widetilde{\mathfrak{E}}=\mathfrak{E}(V),$$ donde $\mathfrak{E}$ es un haz de órdenes (orden global) y $V$ es el abierto de puntos finitos, es decir, el abierto $V=\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1-\left\lbrace \infty\right\rbrace$ de la recta proyectiva $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1$. En primera instancia, se estudia la acción del grupo $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$ sobre $\mathfrak{T}(K)$ cuando $N$ es de grado 1, cuyo grafo cociente asociado es un camino maximal de este mismo árbol. Para el caso del polinomio $N$ de grado 2, se limita el cálculo a $q=2$, lo que simplifica la estructura del grupo $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$. Los tres casos posibles para este polinomio $N$, son los siguientes:

(i) $N$ tiene dos raíces distintas en $\mathbb{F}_2$.
(ii) $N$ tiene una raiz repetida en $\mathbb{F}_2[t]$. 
(iii) $N$ es irreducible en $\mathbb{F}_2[t]$. 
 
2019-05-14
16:30hrs.
Estefanía Bravo. Universidad de Chile
Variedades Jacobianas Isógenas vía cubrimientos intermedios.
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la computación USACH
Abstract:
Una Variedad Jacobiana es una variedad abeliana principalmente polarizada, naturalmente asociada a un superficie de Riemann compacta. Como tal, y en caso de tener acción de grupo, tiene dos descomposiciones asociadas: la descomposición isotípica y según el álgebra de grupo.
Usando resultados conocidos de dichas descomposiciones, y de la correspondiente acción en la superficie, se concluye que la igualdad de los caracteres correspondientes a las representaciones inducidas por los subgrupos implica que las Jacobianas correspondientes a los cubrimientos intermedios son isógenos.
En la primera parte de esta charla explicaré estos resultados conocidos. La segunda parte estará orientada a presentar el problema  en el que estoy trabajando ahora: La idea es construir Jacobianas isógenas que corresponden a curvas no isomorfas, usando acciones de grupos. Para finalizar mostraré algunos resultados obtenidos para un grupo particular, que es parte de una familia de grupos que actúan sobre una Jacobiana.
2019-05-07
16:30hrs.
Daniel Barrera. Universidad de Santiago de Chile
Curvas elípticas y valores de funciones L complejas y p-ádicas
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
Curvas elípticas son ecuaciones polinomiales muy particulares y llenas de misterios. En esta charla nos concentraremos en ciertos objetos de naturaleza analítica asociados a una curva elíptica: las llamadas funciones L complejas y p-ádicas. Enunciaremos conjeturas clásicas y algunos resultados relacionando estas funciones L con cantidades de carácter algebraico asociadas a la curva. En la segunda parte de la charla, explicaremos algunas variaciones un poco más recientes de estos resultados para funciones L complejas donde métodos p-adicos han jugado un rol. Si el tiempo lo permite, terminaremos dando algunas pinceladas de un trabajo en curso junto a S. Molina y V. Rotger tratando curvas elípticas definidas sobre cuerpos de números totalmente reales.
2019-04-30
16:30hrs.
Ricardo Menares. Pontificia Universidad Católica de Chile
Equidistribución y S-unidades
Sala de Seminarios (4to piso), Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:

sea S un conjunto finito de números primos. Un entero algebraico es una S-unidad si los factores primos del ideal que genera están sobre elementos de S. Un caso particular de un Teorema de Baker, Ih y Rumely asegura que hay a lo más un número finito de raíces de la unidad zeta tales que zeta-2 es una S-unidad.

En la primera parte de esta charla explicaremos en detalle cómo las propiedades de equidistribución del conjunto de raíces de la unidad, tanto en los lugares arquimedeanos como no arquimedeanos, pueden utilizarse para demostrar este tipo de resultado. 

En la segunda parte abordaremos un resultado obtenido en colaboración con Sebastián Herrero y Juan Rivera-Letelier, que en lugar de raíces de la unidad, versa sobre "módulos singulares", que son invariantes j de curvas elípticas CM (multiplicaciones complejas) sobre un cuerpo de números. Explicaremos cómo usar resultados de equidistribución de curvas elípticas CM para obtener la finitud del conjunto de módulos singulares que son S-unidades. La versión no arquimedeana de tales propiedades de equidistribución fue el tema de la charla de S. Herrero en una sesión anterior de este seminario.

2019-04-16
16:30hrs.
Robert Auffarth. Universidad de Chile
Trisecantes de la variedad de Kummer de una variedad Jacobiana
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
La variedad de Kummer de una variedad abeliana es el cociente de la variedad abeliana por el automorfismo que envía un elemento a su inverso. Dada una polarización principal en la variedad abeliana, la variedad de Kummer tiene una inmersión canónica a algún espacio proyectivo. Gracias al trabajo de Fay, Gunning, Welters, Debarre y Krichever, entre otros, se sabe que la variedad de Kummer de una variedad Jacobiana posee una pecularidad: existe una familia 4-dimensional de rectas que intersectan la variedad de Kummer en por lo menos tres puntos, y esta propiedad caracteriza a las Jacobianas dentro de las demás variedades abelianas (principalmente polarizadas indescomponibles). En esta charla daremos un survey de estas ideas, y relacionaremos las rectas trisecantes de una Jacobiana con la aplicación de Gauss de su divisor theta.
2019-04-09
16:30hrs.
Irene Spelta. Università Di Pavia
On special subvarieties of Ag contained in the Torelli locus
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:

We will speak about the Coleman-Oort conjecture on totally geodesic subvarieties of Ag, the moduli space of abelian varieties of dimension g. In order to understand the subject, we will summarize properties of Jacobians of curves, abelian varieties and the Torelli morphism.

The examples of totally geodesic subvarieties known so far are obtained as families of Jacobians of Galois coverings of curves f:C→ C'. All of them satisfy a sufficient condition, which we will denote by (∗). We will briefly explain why condition (∗) works and we will explicitly construct and study a particular example.

We will show that condition (∗) gives us a bound on the genus g' of C'. Computer calculations allow us then to say that, up to a certain genus bounded genus g of C, there are only 6 families: all of them describe Galois coverings of elliptic curves. We will quickly illustrate them.

Finally, we study the Prym maps of these families (which we will define accordingly): we will demonstrate that these families are fibered, via their Prym map, in totally geodesic curves.

2019-04-02
16:30hrs.
Mikhail Borovoi. Tel Aviv University, Temporarily Usach
Real models of spherical homogeneous spaces
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
Let $G$ be a connected reductive algebraic group over the field of complex numbers $\mathbb{C}$. Let $Y=G/H$ be a spherical homogeneous space of $G$ (a homogeneous space of special kind). Let $G_0$ be a real model (real form) of $G$, that is, a model of $G$ over the field of real numbers  $\mathbb{R}$. In the talk I will discuss the following question: does there exist a $G_0$-equivariant real model $Y_0$ of $Y$? This is interesting even in the case when $G = G' \times G'$, where $G'$ is a connected semisimple group over $\mathbb{C}$, and $H=G'$ embedded diagonally into $G' \times G'$.
This is a joint work with Giuliano Gagliardi, Tel Aviv - Hannover. No preliminary knowledge of spherical varieties will be assumed.
2019-03-26
16:30hrs.
David Leep. University of Kentucky
Liouville's problem on quaternary quadratic forms
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
In 1856, motivated by Lagrange's theorem that every positive integer is a sum of four integral squares, Liouville tried to find all quadratic forms $x^2 + ay^2 +bz^2 +abw^2$, with $a$, $b$ positive integers, that integrally represent all positive integers.  Of the seven possible candidates that he found, Liouville could resolve the problem for only six of them.  Liouville was unable to decide if $x^2 + 2y^2 +5z^2 +10w^2$ integrally represents all positive integers.  Although L. E. Dickson eventually proved this using advanced techniques, the question has remained whether there is an elementary method that Liouville missed.  This talk will present the background to this problem, including results by Lagrange that foreshadowed more advanced results from the late 19th century.  Time permitting, I will also give some details about an elementary proof that shows $x^2 + 2y^2 +5z^2 +10w^2$ integrally represents all positive integers. 
2019-03-19
16:30hrs.
José Ignacio Burgos Gil. Instituto de Ciencias Matemáticas, Madrid
Height pairing between arithmetic cycles
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
The linking number between two circles is the number of windings of one circle around the other. This is a topological invariant and is a first example of a secondary characteristic class. Analogues of the linking number can be defined in many situations. For instance the height pairing between algebraic cycles is a generalization of the cross ratio between four points in the projective line and can be seen as a "linking number" that has a very nice Hodge theoretical interpretation. 
Higher Chow groups have been introduced by Bloch as a concrete way to represent motivic cohomology. In this talk I will explain how to define a height pairing between higher cycles. This is joint work with S. Goswami and G. Pearlstein.
2019-03-12
16:30hrs.
Sebastián Herrero. Instituto de Matemáticas, Pucv
Equidistribución p-ádica de puntos enteros en hipersuperficies cuadráticas
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
En la primera parte de esta charla repasaremos resultados de Pommerenke, Linnik, Duke y Schulze-Pillot, entre otros, sobre la equidistribución de puntos enteros en hipersuperficies cuadráticas en espacios euclideanos. 
En la segunda parte presentaremos resultados análogos en el mundo p-ádico, cuya demostración hace uso de la teoría de formas modulares y cotas para sus coeficientes de Fourier.
Los resultados que serán presentados forman parte de un proyecto en colaboración con R. Menares y J. Rivera-Letelier.
2019-03-05
16:30hrs.
Stefan Gille. University of Alberta
Residue maps for hermitian forms of central simple algebras
Sala de seminarios (4to piso, lado norte de) Dpto de Matemática y Ciencia de la Computación USACH
Abstract:
Residue maps for quadratic forms over fields of characteristic not 2 are well known and a useful tool to study these objects. One can construct these maps also using derived Witt groups, and this approach can be generalized to hermitian Witt groups of central simple algebras with involutions. In case of involutions of the first can there is also a direct definition possible, and one can prove an analog of Springer's exact sequence. The latter holds for certain more general involutions as well.
2019-01-25
14:30hrs.
Diego Izquierdo. Mpim Bonn
Dimensión de los cuerpos, K-teoría y aritmética de los espacios homogéneos
Sala 2
Abstract:
En 1986, Kato y Kuzumaki hicieron varias conjecturas con las que esperaban dar una caracterización diofántica de la dimensión cohomológica de los cuerpos en términos de K-teoría de Milnor y de puntos racionales sobre hipersuperficies proyectivas de pequeño grado. Hoy en día, sabemos que estas conjecturas son falsas en general. En esta charla, veremos que si uno sustituye las hipersuperficies proyectivas de pequeño grado por los espacios homogéneos, la conjectura de Kato y Kuzumaki se vuelve cierta. Se trata de un trabajo en colaboración con Giancarlo Lucchini Arteche.
2019-01-04
14:30hrs.
Yuri Bilu. Université de Bordeaux
Singular units do not exist
Sala 2
Abstract:
In the first part, I will revise the classical theory of complex multiplication of elliptic curves (or C-lattices); in particular, I will define the notion of a singular modulus, the j-invariant of an elliptic curve (or a C-lattice) with complex multiplication.  According to the old result of Weber, a singular modulus is an algebraic integer. In the second part, I will briefly describe the recent work of Habegger, Kühne and myself proving that a singular modulus cannot be algebraic unit.
2018-12-03
14:00hrs.
Winfried Kohnen. Ruprecht-Karls-Universität Heidelberg
On the Ramanujan-Petersson conjecture for modular forms of half-integral weight
Sala 2
Abstract:
We will discuss several aspects of a 'Ramanujan-Petersson conjecture' for the growth of the Fourier coefficients of a cusp form of half-integral weight.
2018-11-26
14:00hrs.
David Leep. University of Kentucky
Homogeneous forms over p-adic fields
Sala 2
Abstract:

A conjecture due to E. Artin stated that a system of $r$ homogeneous forms having degrees $d_1, d_2,\ldots, d_r$ in $n$ variables defined over a $p$-adic field $K$ should have a nontrivial common zero defined over $K$ as long as $n > d_1^2 + \ldots + d_r^2$.

Although this conjecture turned out to be false in general, the conjecture also turned out to be true in many cases. The determination of exactly when the conjecture is true and when it is false has become a fascinating and important question in number theory, as the question is directly related to questions of finding rational points on varieties.

This talk will focus on the motivation for Artin's conjecture, cases when the conjecture is true, some counterexamples, and some words on the techniques involved.

2018-11-19
14:00hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango mayor que 1
Sala 2
Abstract:
Una x-progresión aritmética en una curva elíptica es un conjunto de puntos racionales tales que sus coordenadas x estén en progresión aritmética. Es natural preguntarse que tan larga puede ser una x-progresión. Hay diversos resultados que responden parcialmente a esta pregunta. Entre ellos, un resultado de Bremner, Silverman, y Tzanakis dice que no hay x-progresiones aritméticas no triviales de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango 1. En esta charla se hará un breve repaso por los resultados que se conocen hasta el momento, y se mostrará un nuevo resultado de este tipo para curvas elípticas congruentes.
2018-11-05
14:00hrs.
Gabriel Ramírez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es explicar un método que permite encontrar buenas cotas inferiores para reguladores de cuerpos de números. 
Para ello expondremos una desigualdad geométrica y una analítica que serán las principales herramientas de este procedimiento. Como una aplicación directa explicaremos como encontrar el regulador minimal de todos los cuerpos de números con una signatura dada.
Al final de la charla discutiremos las limitaciones y posibles mejoras de esta técnica.