Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2018-08-16
15:30hrs.
Héctor Pastén. PUC Chile
Introducción a la Aproximación Diofantina
sala 2
Abstract:
En palabras simples, la aproximación diofantina estudia aproximaciones racionales de números irracionales. Se trata de un tema clásico en matemáticas, con registros que datan al menos del siglo XVII a.C. En esta charla presentaré algunos conceptos y resultados básicos, y explicaré la relevancia de la aproximación diofantina en el contexto de la geometría aritmética.
Esta charla servirá de introducción al tema que trataremos en el seminario durante el resto del semestre.
2018-08-09
15:30hrs.
Pedro Montero. Chinese Academy of Sciences, Beijing
Compactificaciones Equivariantes del Grupo Vectorial en Variedades de Fano Lisas
sala 2
Abstract:

Gracias a los trabajos recientes de Caucher Birkar sabemos que existe un número finito de familias de variedades de Fano (no muy singulares) en toda dimensión. Sin embargo, incluso para el caso de variedades lisas, no existe una clasificación completa en dimensión mayor o igual a 4. Es por ello que es natural imponer condiciones geométricas a dichas variedades para intentar clasificarlas. En esta charla, estudiaremos la geometría de variedades de Fano que son obtenidas como compactificaciones del grupo vectorial.

Históricamente, Hassett y Tschinkel iniciaron el estudio de la geometría de dichas variedades, las cuales satisfacen muy buenas propiedades aritméticas como el principio de Batyrev-Manin (que concierne la distribución asintótica de puntos racionales). Luego de enunciar algunas propiedades generales y ejemplos, discutiremos cómo los trabajos de Hassett y Tschinkel, Kishimoto, Arzhantsev et al. se combinan junto con la clasificación de Fujita, Mori y Mukai permitiendo obtener una completa clasificación de "variedades de Fano aditivas" cuando la dimensión es 3 (trabajo en conjunto con Zhizhong Huang) y cuando el índice de Fano es elevado (trabajo en conjunto con Baohua Fu).

2018-06-26
13:30 a 16:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Alturas y Teorema de Ullmo
sala 2
2018-06-19
14:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Fibrados Metrizados Aritméticos
sala 2
2018-06-12
14:00hrs.
Natalia García. PUC Chile
Semiestabilidad, Modelo Minimal Regular
sala 2
2018-06-05
14:00hrs.
Eduardo Oregón. PUC Chile
Fibrados Metrizados Compejos
sala 2
2018-05-29
14:00hrs.
Jan Kiwi. PUC Chile
Funciones de Green, Admisibilidad
sala 2
2018-05-22
14:00hrs.
Sergio Troncoso . PUC Chile
Amplitud Aritmética
sala 2
2018-05-08
14:00hrs.
Ricardo Menares . PUC Chile
Aplicaciones del Teorema de Riemann-Roch Aritmético
sala 2
2018-04-24
14:00hrs.
Oscar Chacón. PUC Chile
Teorema de Riemann-Roch
sala 2
2018-04-17
14:00hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Fibrados Metrizados en Spec(O_K), Grado de Un Fibrado
sala 2
2018-04-10
14:00hrs.
Matías Alvarado. U de Chile
Grupo de Clases y Grupo de Picard
sala 2
2018-04-03
14:00hrs.
Ricardo Menares . PUC Chile
Introducción a Amplitud Aritmética III
sala 2
2018-03-27
14:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Introducción a Amplitud Aritmética II
sala 2
Abstract:

Una tematica básica en Teoría de Números está cristalizada en el décimo problema de Hilbert entero (H10 sobre Z): decidir si existe un algoritmo que, dado un polinomio en n variables F(x1; x2; : : : ; xn) con coecientes enteros, determina si la ecuacion (0.1) F(x1; x2; : : : ; xn) = 0, admite una solucion con coordenadas enteras. Matiyasevich, en los 70s, demostró que este problema es indecidible, dando una respuesta negativa a H10 sobre Z.

La situación cambia radicalmente al considerar otros anillos en que se buscan las soluciones de (0.1). Sea Z el anillo de todos los enteros algebraicos (un entero algebraico es un número complejo que es raíz de un polinomio monico con coecientes enteros). Rumely demostró en los 80s que H10 sobre Z admite una respuesta positiva. Su argumento se basa en el siguiente resultado.

Teorema (Rumely) Supongamos que F es absolutamente irreductible y que para todo numero primo p, la ecuacion (0.1) admite una solucion con coordenadas en el cuerpo finito de p elementos. Entonces, la ecuación (0.1) admite una solución de (0.1) con coordenadas en Z.

El Teorema de Rumely es un enunciado de existencia y no da un método para, usando la hipótesis, encontrar una solucion en Z. En los 90s, en el caso de un polinomio en dos variables, Ullmo dio una nueva demostración del Teorema de Rumely, usando un metodo que entrega tanto la existencia de una solución como una estimacion de su tamaño.

La demostracion de Ullmo se basa en una interpretacion geometrica de la situacion, usando ideas de Moret-Bailly y Szpiro, adaptadas al contexto de la geometría de Arakelov. La ecuación F = 0 dene una superficie aritmética y el punto entero buscado se interpreta como una sección. Para establecer la existencia y estimar el tamaño de tal seccion, se utiliza el concepto de amplitud aritmetica. Se trata de una adaptacion, para brados metrizados sobre una supercie aritmetica, de la nocion geometrica de amplitud de un brado sobre una supercie algebraica. Una herramienta importante en este metodo es un teorema de S.-W. Zhang, que da un analogo para brados metrizados del criterio de amplitud de Nakai-Moishezon.

El metodo arakeloviano ha sido renado por Autissier, siempre en el contexto de dos variables, demostrando en particular que, cuando se cumple ha hipotesis del teorema de Rumely, hay innitas soluciones de (0.1) con coordenadas en Z y que tienen tama~no controlado. Para el caso de mas de dos variables, la teora de la amplitud aritmetica no esta bien desarrollada aun y ofrece perspectivas de investigacion. En particular, no se conoce una version del teorema de Rumely con control sobre el tamaño de las soluciones.

El primer objetivo de este seminario es, durante el semestre, introducir los conceptos basicos de teora de Arakelov (curvas aritmeticas, supercies aritmeticas, brados metrizados, etc). En segundo lugar, revisaremos en detalle el metodo de Moret-Bailly, Szpiro y Ullmo. Siguiendo los intereses de la audiencia, podremos revisar otros topicos relacionados. 

2018-03-20
14:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
Introducción a Amplitud Aritmética
sala 2
2018-03-16
9:00 y 13:00hrs.
Ricardo Menares. PUC Chile
¿ Desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau Aritmética ? II y III
sala 5
Abstract:
En el contexto de las superficies algebraicas complejas, la desigualdad de BMY es un Teorema profundo que relaciona números de intersección asociados a las clases de Chern. Si se cambia el cuerpo base por uno de característica positiva, la desigualdad ya no vale.
 
En el contexto de las superficies aritméticas, donde la intersección de clases debe considerarse en el sentido de la teoría de Arakelov, se ignora si es cierto un análogo de BMY. En los 80s, Parshin propuso una desigualdad conjetura en este contexto. Tal desigualdad tendría fuertes consecuencias, en particular en teoría de números (e.g. la conjetura abc). Hoy en día no hay evidencia hacia la conjetura de Parshin.
 
Intentaré explicar ideas básicas de Teoría de Arakelov, la conjetura de Parshin,  así como algunas consecuencias en teoría de números. La idea es aprovechar que hoy en día se sabe mucho más sobre BMY que en los 80s y parece ser un buen momento para volver a pensar en este tópico.
2018-03-16
10:30 y 14:30hrs.
Giancarlo Lucchini. U de Chile
Obstrucciones al Principio de Hasse en Superficies II y III
sala 5
Abstract:
En estas charlas el plan es seguir las notas de un curso de Bianca Viray sobre "Puntos Racionales en Superficies", en el cual se presenta la noción de principio de Hasse (o principio local-global) y las obstrucciones de Brauer-Manin y Brauer-Manin étale que van asociadas. Para esto tendremos que introducir la noción de grupo de Brauer de un esquema. Luego veremos cuales son las diversas conjeturas y resultados en estos temas para superficies. Si el tiempo lo permite, analizaremos en detalle un resultado de Viray y sus colaboradores que se encuentra al final de sus notas.
 
2018-03-15
14:00hrs.
Ricardo Merares . PUC Chile
¿ Desigualdad de Bogomolov-Miyaoka-Yau Aritmética ? I
sala 2
Abstract:
En el contexto de las superficies algebraicas complejas, la desigualdad de BMY es un Teorema profundo que relaciona números de intersección asociados a las clases de Chern. Si se cambia el cuerpo base por uno de característica positiva, la desigualdad ya no vale.
 
En el contexto de las superficies aritméticas, donde la intersección de clases debe considerarse en el sentido de la teoría de Arakelov, se ignora si es cierto un análogo de BMY. En los 80s, Parshin propuso una desigualdad conjetura en este contexto. Tal desigualdad tendría fuertes consecuencias, en particular en teoría de números (e.g. la conjetura abc). Hoy en día no hay evidencia hacia la conjetura de Parshin.
 
Intentaré explicar ideas básicas de Teoría de Arakelov, la conjetura de Parshin,  así como algunas consecuencias en teoría de números. La idea es aprovechar que hoy en día se sabe mucho más sobre BMY que en los 80s y parece ser un buen momento para volver a pensar en este tópico.
2018-03-15
16:00hrs.
Giancarlo Lucchini. U de Chile
Obstrucciones al Principio de Hasse en Superficies I
sala 2
Abstract:
En estas charlas el plan es seguir las notas de un curso de Bianca Viray sobre "Puntos Racionales en Superficies", en el cual se presenta la noción de principio de Hasse (o principio local-global) y las obstrucciones de Brauer-Manin y Brauer-Manin étale que van asociadas. Para esto tendremos que introducir la noción de grupo de Brauer de un esquema. Luego veremos cuales son las diversas conjeturas y resultados en estos temas para superficies. Si el tiempo lo permite, analizaremos en detalle un resultado de Viray y sus colaboradores que se encuentra al final de sus notas.
 
2018-03-08
14:00hrs.
Bruno de Oliveira. University of Miami
Further Results on Hyperbolicity
sala 5
Abstract:
Continuation of themes from the previous lectures, Algebraic
hyperbolicity, hyperbolic hypersurfaces in P^3.