Gracias a los trabajos recientes de Caucher Birkar sabemos que existe un número finito de familias de variedades de Fano (no muy singulares) en toda dimensión. Sin embargo, incluso para el caso de variedades lisas, no existe una clasificación completa en dimensión mayor o igual a 4. Es por ello que es natural imponer condiciones geométricas a dichas variedades para intentar clasificarlas. En esta charla, estudiaremos la geometría de variedades de Fano que son obtenidas como compactificaciones del grupo vectorial.

Históricamente, Hassett y Tschinkel iniciaron el estudio de la geometría de dichas variedades, las cuales satisfacen muy buenas propiedades aritméticas como el principio de Batyrev-Manin (que concierne la distribución asintótica de puntos racionales). Luego de enunciar algunas propiedades generales y ejemplos, discutiremos cómo los trabajos de Hassett y Tschinkel, Kishimoto, Arzhantsev et al. se combinan junto con la clasificación de Fujita, Mori y Mukai permitiendo obtener una completa clasificación de "variedades de Fano aditivas" cuando la dimensión es 3 (trabajo en conjunto con Zhizhong Huang) y cuando el índice de Fano es elevado (trabajo en conjunto con Baohua Fu).

Una tematica básica en Teoría de Números está cristalizada en el décimo problema de Hilbert entero (H10 sobre Z): decidir si existe un algoritmo que, dado un polinomio en n variables F(x1; x2; : : : ; xn) con coecientes enteros, determina si la ecuacion (0.1) F(x1; x2; : : : ; xn) = 0, admite una solucion con coordenadas enteras. Matiyasevich, en los 70s, demostró que este problema es indecidible, dando una respuesta negativa a H10 sobre Z.

La situación cambia radicalmente al considerar otros anillos en que se buscan las soluciones de (0.1). Sea Z el anillo de todos los enteros algebraicos (un entero algebraico es un número complejo que es raíz de un polinomio monico con coecientes enteros). Rumely demostró en los 80s que H10 sobre Z admite una respuesta positiva. Su argumento se basa en el siguiente resultado.

Teorema (Rumely) Supongamos que F es absolutamente irreductible y que para todo numero primo p, la ecuacion (0.1) admite una solucion con coordenadas en el cuerpo finito de p elementos. Entonces, la ecuación (0.1) admite una solución de (0.1) con coordenadas en Z.

El Teorema de Rumely es un enunciado de existencia y no da un método para, usando la hipótesis, encontrar una solucion en Z. En los 90s, en el caso de un polinomio en dos variables, Ullmo dio una nueva demostración del Teorema de Rumely, usando un metodo que entrega tanto la existencia de una solución como una estimacion de su tamaño.

La demostracion de Ullmo se basa en una interpretacion geometrica de la situacion, usando ideas de Moret-Bailly y Szpiro, adaptadas al contexto de la geometría de Arakelov. La ecuación F = 0 dene una superficie aritmética y el punto entero buscado se interpreta como una sección. Para establecer la existencia y estimar el tamaño de tal seccion, se utiliza el concepto de amplitud aritmetica. Se trata de una adaptacion, para brados metrizados sobre una supercie aritmetica, de la nocion geometrica de amplitud de un brado sobre una supercie algebraica. Una herramienta importante en este metodo es un teorema de S.-W. Zhang, que da un analogo para brados metrizados del criterio de amplitud de Nakai-Moishezon.

El metodo arakeloviano ha sido renado por Autissier, siempre en el contexto de dos variables, demostrando en particular que, cuando se cumple ha hipotesis del teorema de Rumely, hay innitas soluciones de (0.1) con coordenadas en Z y que tienen tama~no controlado. Para el caso de mas de dos variables, la teora de la amplitud aritmetica no esta bien desarrollada aun y ofrece perspectivas de investigacion. En particular, no se conoce una version del teorema de Rumely con control sobre el tamaño de las soluciones.

El primer objetivo de este seminario es, durante el semestre, introducir los conceptos basicos de teora de Arakelov (curvas aritmeticas, supercies aritmeticas, brados metrizados, etc). En segundo lugar, revisaremos en detalle el metodo de Moret-Bailly, Szpiro y Ullmo. Siguiendo los intereses de la audiencia, podremos revisar otros topicos relacionados.