Seminario de Geometría Algebraica

Seminario de Geometría Algebraica
2017-10-20
14:00-15:00hrs.
Natalia García. PUC Chile
Funtorialidades
Sala 2
Abstract:
Dado un morfismo dominante f:Y->X entre superficies suaves proyectivas, veremos la relación entre las curvas w-integrales en X y las curvas fºw-integrales en Y (esto es el paso 3 del método: las curvas en X son imagen de curvas de Y). La demostración consiste en aplicar propiedades funtoriales de los objetos involucrados.
2017-10-13
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
la Superficie Que Parametriza los Cuboides
Sala 2
Abstract:
Además de terminar el último detalle para demostrar el paso 4 del método para encontrar curvas de género bajo en superficies, estudiaremos en más detalle la superficie que parametriza los cuboides (la superficie relacionada con el problema de las diagonales de Euler, o el problema del cuboide perfecto, etc). En particular, veremos de qué manera afecta al método el hecho que esta superficie tenga 48 singularidades, y qué tipo de resultados sobre curvas en esta superficie si se logran obtener.
2017-10-06
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
la Relación Entre Curvas de Género Bajo y Curvas Omega-Integrales
sala 2
Abstract:
Comenzaremos a estudiar en más detalle el método que vimos para encontrar (en algunos casos) las curvas de género bajo en superficies. Comenzaremos explicando como funciona el último paso, para entender como se relacionan exactamente las curvas de género bajo con la omega-integralidad, así como también entender la mejora que se puede hacer cuando la ramificación consiste de curvas omega-integrales.
2017-09-29
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
El Problema de los N Cuadrados (Parte 2)
sala 2
Abstract:
Terminaremos de estudiar el problema de los N cuadrados, para lo cual solo nos falta el último paso. Después de esto, veremos posibles tipos de problemas que pueden ser estudiados con este método, con la idea de poder aplicar a futuro este método a otros problemas de teoría de números (de recurrencias, distancias racionales, valores especiales de polinomios, entre otros) y de geometría algebraica (diversos problemas sobre curvas en superficies).
 
El pdf de la charla anterior 

http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2017-09-22
14:30hrs.
Natalia García . PUC Chile
El Problema de los N Cuadrados
Sala 2
Abstract:
El Problema de los N cuadrados (o Problema de Büchi) pregunta por el largo máximo de una sucesión de números enteros cuyos cuadrados tienen segundas diferencias iguales a dos. El largo máximo conocido de un ejemplo de estas sucesiones es cuatro.

En 2000, Paul Vojta estudio las curvas de género cero o uno de las superficies relacionadas a este problema, resolviendo este problema bajo la conjetura de Bombieri-Lang (es decir, que no puede haber sucesiones de este tipo de largo 8), y también su análogo para cuerpos de funciones de manera incondicional. El método para encontrar curvas de género bajo en una superficie que estamos estudiando en este seminario es inspirado en este trabajo de Vojta.

En esta charla, mostraremos con más detalles el sketch del método para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y estudiaremos como se aplica, paso a paso, al ejemplo del Problema de los N cuadrados (utilizaremos la noción de curva omega-integral, pero casi nada de teoría de haces). Si el tiempo lo permite, veremos que clase de hipótesis necesita un sistema de ecuaciones Diofantino para que éste método se pueda aplicar, con la idea de poder aplicar a futuro este método a otros problemas de teoría de números.
http://www.mat.uc.cl/~urzua/
2017-09-15
15:00hrs.
Eduardo Oregón. PUC Chile
Nilpotencia y Cociclos de Matrices
sala 2
Abstract:
El Teorema de Caley-Hamilton nos dice que toda matriz satisface su propio polinomio característico. Esta restricción algebraica codifica información dinámica del proceso de iterar una matriz. En esta charla, obtendremos una restriccion algebraica similar, válida para un cociclo de matrices arbitrario. La herramienta fundamental para esto será Nullstellensatz, que nos permitirá convertir una propiedad de nilpotencia en identidades polinomiales.
2017-09-15
13:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Curvas Omega-Integrales
sala 2
Abstract:
En esta charla, vamos a definir lo que son las curvas omega-integrales. Estas curvas son fundamentales en el método para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y se pueden ver como un análogo algebraico de las curvas integrales de una ecuación diferencial.

Al comienzo, explicaremos las nociones necesarias de geometría algebraica para definir estas curvas, daremos la definición, y si el tiempo lo permite mostraremos un sketch del método para encontrar las curvas de género bajo en superficies.
2017-09-08
14:30hrs.
Natalia García. PUC Chile
Aplicaciones Aritméticas y Geométricas de Encontrar Todas Las Curvas de Género Bajo en Superficies
Sala 2
Abstract:
Ahora que tenemos más conceptos de la geometría algebraica, vamos a ver en más detalle como se conecta el encontrar curvas de género bajo con resultados aritméticos. Veremos como el encontrar todas las curvas de género bajo de una superficie definida por un sistema de ecuaciones Diofantinas, nos permite:

- Describir todas salvo finitas soluciones del sistema sobre cuerpos de números, bajo la conjetura de Bombieri-Lang. Esto es en el caso que la superficie sea de tipo general;
- Dar todas las soluciones del sistema sobre cuerpos de funciones (por ejemplo polinomios, funciones racionales). Esto es incondicional y no necesita tipo general.

También veremos aplicaciones geométricas, como:

- Encontrar nuevos ejemplos de superficies con finitas curvas de género cero o uno, que no satisfacen los criterios propuestos por Bogomolov para que esto ocurra.
- Encontrar nuevos ejemplos de superficies Brody-hiperbólicas.

El próximo viernes creo que ya estaremos en condiciones para explicar la noción fundamental que se necesita para encontrar todas las curvas de género bajo en una superficie, y empezar a explicar a grandes rasgos el método.
2017-09-01
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Construcción de Cubrimientos de Variedades
sala 2
2017-08-28
16:00hrs.
Mikhail Borovoi. Tel Aviv University
Cayley Groups
sala 1, Facultad de Matemáticas
Abstract:
I will start the talk with the definition of the special orthogonal group SO(n) and with the classical "Cayley transform" for SO(n) constructed by Arthur Cayley in 1846. A connected linear algebraic group G over C is called a *Cayley group* if it admits a *Cayley map*, that is, a G-equivariant birational isomorphism between the group variety G and its Lie algebra Lie(G). For example, SO(n) is a Cayley group.  A linear algebraic group G is called *stably Cayley* if G x (C^*)^r is Cayley for some natural number r. I will consider semisimple algebraic groups, in particular, simple algebraic groups. I will describe classification of Cayley simple groups and of stably Cayley semisimple groups. (Based on joint works with Boris Kunyavskii and others.)
2017-08-25
16:00hrs.
Nicolás Arancibia Robert. Carleton University
Una Introducción al Principio de Funtorialidad de Langlands y a la Conjetura Local de Arthur
Facultad de Matemáticas, sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es dar una introducción a ciertos aspectos del programa de Langlands. Comenzaremos introduciendo ciertos conceptos necesarios para poder enunciar el principio de funtorialidad para luego dar paso al trabajo de James Arthur sobre la clasificación del espectro automorfo discreto de grupos clásicos. Si el tiempo lo permite, daremos una corta introducción al trabajo de J. Adams, D. Barbasch y D. Vogan sobre la descripción a partir de herramientas geométricas de los llamados paquetes d'Arthur.
2017-08-25
14:30hrs.
Giancarlo Urzúa. PUC Chile
Elementos de Superficies Algebraicas
sala 2
2017-08-18
14:30hrs.
Sergio Troncoso. PUC Chile
Introducción a Las Nociones Básicas en Geometría de Superficies
Sala 2
2017-08-04
14:30hrs.
Natalia García Fritz. PUC Chile
Puntos Racionales y Problemas Diofantinos
sala 2
2017-07-21
15:40-17:00hrs.
Paolo Stellari. Universidad de Milan
Cubic Threefolds And Fourfolds: Geometry And Homological Algebra III
Sala 1
Abstract:
We revisit some classical results concerning the geometry of smooth cubic hypersurfaces of dimension 3 and 4 by means of modern techniques involving derived categories and Bridgeland stability conditions. The examples we want to examine are: the Fano variety of lines, twisted cubics curves on cubic fourfolds and the Torelli theorem for cubic threefolds and fourfolds.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry
2017-07-21
14:00-15:20hrs.
Marcello Bernardara. Universidad de Toulose
Derived Categories, Cycles, And Rationality
Sala 1
Abstract:
In the last decades, semiorthogonal decompositions of derived categories of coherent sheaves have been considered as a possible tool to attack birationality questions. Since the seminal work of Bondal and Orlov, the work of many authors, Kuznetsov above all of them, has made clear what we should expect and which are the main technical problems. In particular, one would expect that the derived category of a rational variety must be decomposed in "codimension 2" subcategories.

The aim of these lectures is to set definitions and property that could give a sense to the above considerations, and to show that this conjectural obstruction is stronger than the known classical ones in cases such as surfaces or Fano threefolds, and closely related for some particular fourfold (cubic, Gushel'-Mukai). A particular attention will be put on constructions related to cycles and motives, such as intermediate Jacobians and decomposition of the diagonal.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry
2017-07-20
14:00-15:20hrs.
Marcello Bernardara. Universidad de Toulose
Derived Categories, Cycles, And Rationality II
Sala 1
Abstract:
In the last decades, semiorthogonal decompositions of derived categories of coherent sheaves have been considered as a possible tool to attack birationality questions. Since the seminal work of Bondal and Orlov, the work of many authors, Kuznetsov above all of them, has made clear what we should expect and which are the main technical problems. In particular, one would expect that the derived category of a rational variety must be decomposed in "codimension 2" subcategories.

The aim of these lectures is to set definitions and property that could give a sense to the above considerations, and to show that this conjectural obstruction is stronger than the known classical ones in cases such as surfaces or Fano threefolds, and closely related for some particular fourfold (cubic, Gushel'-Mukai). A particular attention will be put on constructions related to cycles and motives, such as intermediate Jacobians and decomposition of the diagonal.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry
2017-07-20
15:40-17:00hrs.
Paolo Stellari. Universidad de Milan
Cubic Threefolds And Fourfolds: Geometry And Homological Algebra II
Sala 1
Abstract:
We revisit some classical results concerning the geometry of smooth cubic hypersurfaces of dimension 3 and 4 by means of modern techniques involving derived categories and Bridgeland stability conditions. The examples we want to examine are: the Fano variety of lines, twisted cubics curves on cubic fourfolds and the Torelli theorem for cubic threefolds and fourfolds.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry
2017-07-19
14:00-15:20hrs.
Marcello Bernardara. Universidad de Toulose
Derived Categories, Cycles, And Rationality I
Sala 1
Abstract:
In the last decades, semiorthogonal decompositions of derived categories of coherent sheaves have been considered as a possible tool to attack birationality questions. Since the seminal work of Bondal and Orlov, the work of many authors, Kuznetsov above all of them, has made clear what we should expect and which are the main technical problems. In particular, one would expect that the derived category of a rational variety must be decomposed in "codimension 2" subcategories.

The aim of these lectures is to set definitions and property that could give a sense to the above considerations, and to show that this conjectural obstruction is stronger than the known classical ones in cases such as surfaces or Fano threefolds, and closely related for some particular fourfold (cubic, Gushel'-Mukai). A particular attention will be put on constructions related to cycles and motives, such as intermediate Jacobians and decomposition of the diagonal.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry
2017-07-19
15:40-17:00hrs.
Paolo Stellari. Universidad de Milan
Cubic Threefolds And Fourfolds: Geometry And Homological Algebra I
Sala 1
Abstract:
We revisit some classical results concerning the geometry of smooth cubic hypersurfaces of dimension 3 and 4 by means of modern techniques involving derived categories and Bridgeland stability conditions. The examples we want to examine are: the Fano variety of lines, twisted cubics curves on cubic fourfolds and the Torelli theorem for cubic threefolds and fourfolds.g derived categories and Bridgeland stability conditions. The examples we want toWe revisit some classical results concerning the geometry of smooth cubic hypersurfaces of dimension 3 and 4 by means of modern techniques involving derived categories and Bridgeland stability conditions. The examples we want to examine are: the Fano variety of lines, twisted cubics curves on cubic fourfolds and the Torelli theorem for cubic threefolds and fourfolds. are: the Fano variety of lines, twisted cubics curves on cubic fourfolds and the Torelli theorem for cubic threefolds and fourfolds.
https://raizdepie.wixsite.com/algebraic-geometry