Seminario de Postgrado en Matemáticas

Este seminario es una instancia para que estudiantes de postgrado de esta y otras instituciones puedan presentar sus proyectos de tesis, así como otros temas de interés. Está dirigido a estudiantes de postgrado y de último año de licenciatura, por lo que se espera que en cada exposición se dé una introducción o motivación sobre el tema a discutir. Cada charla tendrá una duración de 60 minutos.

Actual coordinador: Nicolás Alvarado y Oscar Chacón.
2019-06-06
15.30hrs.
Rodrigo Bazaes. PUC Chile
Grandes desvíos para macrhas aleatorias en medios aleatorios.
Sala 2
Abstract:
En esta charla, se hablará de los resultados conocidos de grandes desvíos para RWRE (random walks in random environment). Varadhan en 2003 probó un principios de grandes desvíos quenched y annealed para marchas ergódicas y uniformemente elípticas, pero no se deducen fórmulas explícitas. Resultados posteriores por parte de Rosenbluth (2006) y Yilmaz (2010, 2011) han avanzado en esa dirección, pero en general los resultados se limitan a fórmulas variacionales. Este último prueba además que si d ≥ 4, existe un abierto donde las funciones de tasa quenched y annealed son iguales, asumiendo una condición de balisticidad.

Discutiremos resultados recientes que buscan remover tal condición, y en los cuales además se deducen fórmulas explícitas.

Trabajo en conjunto con C. Mukherjee, A. Ramírez y S. Saglietti.
2019-05-30
15.30hrs.
Diego Jauré. Universidad de Chile
Aproximaciones Diofánticas y Geometría Hiperbólica
Sala 2
Abstract:
Desde el principio de los tiempos los matemáticos han querido dar aproximaciones racionales a los números que ellos manipulaban; de ahpi es donde la idea de las fracciones continuas aparecen. En esta charla se dará una interpretación geométrica utilizando la teselación de Farey del plano hiperbólico, la cual nos será de gran ayuda para probar tres resultados bien conocidos en teoría de números.
2019-05-16
17.00hrs.
Erik Contreras. PUC Chile
Fracciones Continuas y Formalismo Termodinámico
Sala 4
2019-05-02
15:30-16:30hrs.
Carolina Canales. Pontificia Universidad Católica de Chile
Buscando un teorema de Poincaré-Bendixson complejo
Sala 2
Abstract:
El objetivo de esta charla es introducir el estudio de las foliaciones holomorfas. Primero recordaremos algunas cosas sobre ecuaciones diferenciales en $\mathbb{R}^2$, como el teorema de Poincaré-Bendixson y el problema 16 de Hilbert, para luego pasar al contexto complejo donde introduciremos las foliaciones holomorfas.

La idea es hablar sobre el problema del minimal excepcional, quien es un análogo del teorema de Poincaré-Bendixson en este nuevo contexto, y sobre el desarrollo, en geometría y dinámica compleja, que ha implicado el estudio del problema del minimal excepcional, quien aún no tiene solución.
2019-04-25
15:30hrs.
Roberto Maturana. Hhu Düsseldorf
Algunos resultados de las dinámicas cuánticas de una partícula en un potencial markoviano.
Sala 2
Abstract:
La charla estará enfocada en un resultado de Pillet de los años 80. Consideraremos una dinámica cuántica de una partícula con un potencial aleatorio (markoviano) que depende del tiempo y derivaremos una fórmula para la matriz de densidad en tiempo-promedio sobre la realización del potencial; dicha fórmula es llamada Feynman-Kac-Pillet.
2019-04-11
15.30hrs.
Gabriel Ramírez. PUC Chile
Cotas para un análogo del máximo común divisor de funciones holomorfas.
Sala 2
Abstract:
El trabajo presentado en esta charla se realizó en conjunto con Natalia García-Fritz. En una primera parte, mostraremos las bases de la teoría de distribución de valores de funciones holomorfas y su relación con aproximaciones diofánticas, además de dar un breve repaso de teoría de probabilidades. Tras eso, explicaremos el problema que nos interesa tratar y presentaremos algunos resultados obtenidos.
2018-11-28
16:00-17:00hrs.
Ariel Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Linealización simultánea de gérmenes holomorfos.
Sala 3
Abstract:
TBA
2018-11-21
15:30-16:30hrs.
Pedro Mendoza. Pontificia Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango mayor que 1
Sala 3
Abstract:
Una x-progresión aritmética en una curva elíptica es un conjunto de puntos racionales tales que sus coordenadas x estén en progresión aritmética. Es natural preguntarse que tan larga puede ser una x-progresión. Hay diversos resultados que responden parcialmente a esta pregunta. Entre ellos, un resultado de Bremner, Silverman, y Tzanakis dice que no hay x-progresiones aritméticas no triviales de puntos enteros en curvas elípticas congruentes de rango 1. En esta charla se hará un breve repaso por los resultados que se conocen hasta el momento, y se mostrará un nuevo resultado de este tipo para curvas elípticas congruentes.
2018-11-07
16:30-17:30hrs.
Sebastián Burgos. Pontificia Universidad Católica de Chile
Entropía en conjuntos de nivel de promedios de Birkhoff sobre el espacio simbólico compacto.
Sala 3
Abstract:
En esta charla consideramos un potencial Hölder en el espacio simbolico compacto, y nos vamos a interesar en los conjuntos de nivel de los promedios de Birkhoff de este potencial. Usando una definicion variacional de entropia restringida a subconjuntos, vamos a estudiar la función que manda un numero real a la entropia restringida al conjunto de nivel respectivo.
2018-10-31
16:00-17:00hrs.
Oscar Chacón. Pontificia Universidad Católica de Chile
Polígonos, Poliedros y Galerías de Arte
Sala 3
Abstract:
En este seminario hablaremos sobre polígonos y sus triangulaciones, poliedros y sus tetraedralizaciones, el teorema de la Galería de Arte, y algunos problemas abiertos relacionados a la descomposición de polígonos y poliedros en sus unidades planas y espaciales más básicas.
2018-10-24
15:30-16:30hrs.
Sebastián Pavez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Optimización Ergódica: Introducción, Ejemplos y Teoremas de Revelación
Sala 3
Abstract:
El objeto de estudio de la optimización ergódica es describir las órbitas de cierto sistema dinámico que maximizan cierta función "performance" dada. En el contexto de esta charla, consideraremos el caso de $(X,T)$ un sistema dinámico, con $X$ espacio métrico compacto, $f\in\mathcal{C}(X)$, y queremos estudiar que ocurre con las órbitas que maximizan el problema $$\beta(f)=\sup_{x\in X}\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}(f(x)+f(T(x))+\dots+f(T^{n-1}(x)))$$ donde este límite exista. Lo anterior, se puede trabajar de forma equivalente como $$\beta(f)=\sup_{\mu\in\mathcal{M}_T}\int fd\mu,$$ donde $\mathcal{M}_T$ denota las medidas de probabliidad $T$-invariantes. Luego de enunciar algunos resultados en el segundo contexto, vamos a hablar en específico de un ejemplo conocido en el circulo $S^1$.

Para finalizar, vamos a hablar de las revelaciones, las cuales son una herramienta bastante útil para describir medidas que maximizan la segunda igualdad.
2018-10-17
15:30-16:30hrs.
Fernando Figueroa. Pontificia Universidad Católica de Chile
Arreglos de rectas sobre un cuerpo
Sala 3
Abstract:
En esta charla veremos lo que son los arreglos de rectas y sus realizaciones sobre un cuerpo.
Veremos distintos fenómenos que suceden al variar el cuerpo sobre el que trabajamos.
2018-09-26
16:30hrs.
Victor Cañulef. Universidad Autónoma de Madrid
Tópicos en Mecánica de Fluidos
Sala 3
Abstract:
En esta charla se discutirán algunos de los tópicos actuales de investigaciónn en mecánica de fluidos, tales como: modelos 1D, evolución de interfaces y desarrollo de singularidades para ecuaciones que modelan la evolución de fluidos incompresibles.
2018-09-12
17:00hrs.
Pilar Lorenzo. Pucv-Usm-Uv
Difeomorfismos de Anosov y Pseudo-Anosov: I
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto de difeomorfismo de Anosov y revisaremos sus principales propiedades. Básicamente un difeomorfismo de Anosov es aquel que tiene asociadas dos foliaciones transversales sin singularidades en donde el comportamiento dinámico es contractivo en una y expansivo en la otra. Veremos que hay interesantes comportamientos dinámicos que se pierden si se observa una singularidad en las foliaciones, lo que introducirá el concepto de difeomorfismo Pseudo-Anosov, revisando propiedades de estos últimos.
2018-09-12
18:00hrs.
Bruno Yemini. Pucv-Usm-Uv
Difeomorfismos de Anosov y Pseudo-Anosov: II
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto de difeomorfismo de Anosov y revisaremos sus principales propiedades. Básicamente un difeomorfismo de Anosov es aquel que tiene asociadas dos foliaciones transversales sin singularidades en donde el comportamiento dinámico es contractivo en una y expansivo en la otra. Veremos que hay interesantes comportamientos dinámicos que se pierden si se observa una singularidad en las foliaciones, lo que introducirá el concepto de difeomorfismo Pseudo-Anosov, revisando propiedades de estos últimos.
2018-09-05
16:30hrs.
Alfredo Calderón. Pucv-Usm-Uv
Descomposición espectral de la dinámica de aplicaciones contractivas a trozos en el intervalo
Sala 3
Abstract:
Sean $X\subset\mathbb{R}$ un intervalo compacto y $f:X\to X$ una aplicación. Decimos que $f$ es una aplicación contractiva a trozos si $f$ es $\lambda$-lipschitz ($0<\lambda<1$) en el interior de cada elemento de una partición finita de $X$. En esta charla vamos a introducir algunos conceptos de dinámica topológica adaptados a este contexto, discutiendo las principales dificultades que se presentan en el desarrollo de la teoría. Nuestro objetivo será describir la dinámica asintótica de esta clase de sistemas y, para esto, hablaremos de comportamientos "no genéricos" de las órbitas y cómo es que provocan la aparición de conjuntos de Cantor atractores.
2018-07-19
16:30hrs.
Felipe Riquelme. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Distribución de órbitas periódicas y entropía de endomorfismos racionales en la esfera: II
Sala 3
Abstract:
En 1965, Brolin utilizó teoría del potencial para probar que si $P$ es un polinomio complejo, las soluciones de la ecuación $P^{m}(\zeta)= z$ tienen una distribución asintóticamennte uniforme para alguna medida invariante sobre la esfera de Riemann. Sin embargo, esto es más general. Ljubich demostró en 1981 que esto vale para cualquier función racional sobre la esfera de Riemann, con una medida soportada en el conjunto de Julia, y exhibió cómo obtener esta medida como límite de medidas que equidistribuyen la masa en las pre-imágenes de un punto o en órbitas periódicas. Más aún, Ljubich también mostró que esta medida concentra todo el caos posible del sistema al realizar la entropía topológica y ser la única medida de probabilidad invariante verificando esta propiedad. 

En esta charla, dividida en dos sesiones, mostraremos algunas nociones básicas de dinámica compleja y explicaremos los pasos fundamentales en las pruebas de equidistribución y realización de entropía.
2018-07-19
15:00hrs.
Vanessa Matus de la Parra. Pontificia Universidad Católica de Valparaíso
Distribución de órbitas periódicas y entropía de endomorfismos racionales en la esfera: I
Sala 3
Abstract:
En 1965, Brolin utilizó teoría del potencial para probar que si $P$ es un polinomio complejo, las soluciones de la ecuación $P^{m}(\zeta)= z$ tienen una distribución asintóticamennte uniforme para alguna medida invariante sobre la esfera de Riemann. Sin embargo, esto es más general. Ljubich demostró en 1981 que esto vale para cualquier función racional sobre la esfera de Riemann, con una medida soportada en el conjunto de Julia, y exhibió cómo obtener esta medida como límite de medidas que equidistribuyen la masa en las pre-imágenes de un punto o en órbitas periódicas. Más aún, Ljubich también mostró que esta medida concentra todo el caos posible del sistema al realizar la entropía topológica y ser la única medida de probabilidad invariante verificando esta propiedad. 

En esta charla, dividida en dos sesiones, mostraremos algunas nociones básicas de dinámica compleja y explicaremos los pasos fundamentales en las pruebas de equidistribución y realización de entropía.
2018-07-18
15:30hrs.
Jose Yañez. Universidad de Utah
El grupoide fundamental y el teorema de Seifert-van Kampen
Sala 3
Abstract:
En esta charla introduciremos el concepto del grupoide fundamental de un espacio topológico, una generalización del grupo fundamental. Veremos una versión del teorema de Seifert-van Kampen para el grupoide fundamental.
2018-07-03
17:00hrs.
Cristian González. Instituto de Matemática Pura y Aplicada
Empaquetamiento de Esferas
Sala 3, Facultad de Matemáticas
Abstract:
El problema de buscar la forma óptima para empaquetar esferas en $\mathbb{R}^{n}$ (para cada n) es un problema clásico que ha interesado a los matemáticos desde siempre. En esta charla hablaremos un poco de la historia de este problema, los resultados básicos y su relación con principios de incertidumbre que se presentan naturalmente en análisis.