Marco Godoy. Universidad de Chile
Acciones de grupos de unidades de ordenes de Eichler sobre el arbol de Bruhat-Tits, asociados a divisores de grado 1 y 2
Sala de seminarios (4to piso) Dpto de Matemática y Ciencias de la Computación USACH
Abstract:
En esta charla, el problema a resolver consiste en estudiar la acción del grupo de unidades $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$, asociado a un orden de Eichler $\mathfrak{E}$, sobre el árbol de Bruhat-Tits $\mathfrak{T}(K)$, definido sobre el cuerpo local $K=\mathbb{F}_q((t^{-1}))$, este último visto como la completación del cuerpo de funciones racionales $\mathbb{F}_q(t)$ en el lugar $\infty$. Como resultado de dicho análisis, se obtienen el grafo cociente asociado a esta acción. Específicamente, en esta charla, el orden $\widetilde{\mathfrak{E}}$ se define como $$\widetilde{\mathfrak{E}}=\left(\begin{array}{cc}\mathbb{F}_q[t] & \mathbb{F}_q[t] \\ N\mathbb{F}_q[t] & \mathbb{F}_q[t]\end{array}\right),$$
donde $N\in \mathbb{F}_q[t]$ es un polinomio de grado 1 o 2. Este orden puede interpretarse como $$\widetilde{\mathfrak{E}}=\mathfrak{E}(V),$$ donde $\mathfrak{E}$ es un haz de órdenes (orden global) y $V$ es el abierto de puntos finitos, es decir, el abierto $V=\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1-\left\lbrace \infty\right\rbrace$ de la recta proyectiva $\mathbb{P}_{\mathbb{F}_q}^1$. En primera instancia, se estudia la acción del grupo $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$ sobre $\mathfrak{T}(K)$ cuando $N$ es de grado 1, cuyo grafo cociente asociado es un camino maximal de este mismo árbol. Para el caso del polinomio $N$ de grado 2, se limita el cálculo a $q=2$, lo que simplifica la estructura del grupo $\widetilde{\mathfrak{E}}^{\ast}$. Los tres casos posibles para este polinomio $N$, son los siguientes:
(i) $N$ tiene dos raíces distintas en $\mathbb{F}_2$.
(ii) $N$ tiene una raiz repetida en $\mathbb{F}_2[t]$.
(iii) $N$ es irreducible en $\mathbb{F}_2[t]$.