Seminario de Teoría de Números
El Seminario de Teoría de Números en la UC está dirigido a estudiantes de pregrado y postgrado que estén interesados en el área. El objetivo será presentar variados temas dentro de la teoría de números de una manera autocontenida, para así mostrar a los estudiantes los temas que actualmente son de interés para los teoristas de números. Los expositores serán voluntarios dentro de los participantes del seminario.
Página web: https://www.mat.uc.cl/~natalia.garcia/stn.html
2021-04-09
14:00hrs.
14:00hrs.
Matías Bruna. Pontificia Universidad Católica de Chile
Sobre densidad de Schnirelmann y suma de conjuntos
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Abstract:
Dado un conjunto A de números naturales, uno se puede preguntar si todo natural se puede escribir como suma de m elementos de A, y si la respuesta es afirmativa, nos gustaría calcular el menor m posible. En esta charla introduciremos la densidad de Schnirelmann y veremos algunos teoremas al respecto. Con esto probaremos, por ejemplo, que existe un natural C tal que todo número natural se puede escribir como suma de a lo más C primos.
Sobre densidad de Schnirelmann y suma de conjuntos
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Abstract:
Dado un conjunto A de números naturales, uno se puede preguntar si todo natural se puede escribir como suma de m elementos de A, y si la respuesta es afirmativa, nos gustaría calcular el menor m posible. En esta charla introduciremos la densidad de Schnirelmann y veremos algunos teoremas al respecto. Con esto probaremos, por ejemplo, que existe un natural C tal que todo número natural se puede escribir como suma de a lo más C primos.
2021-03-26
14:00hrs.
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Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
El problema del cuboide perfecto
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Abstract:
Un cuboide perfecto (o ladrillo perfecto de Euler) es una caja cuyos lados, diagonales de las caras y diagonal principal tienen longitudes racionales. Hasta el momento no se ha encontrado algun cuboide perfecto, a pesar de lo mucho que se ha buscado. Tampoco sabemos si no existen. En esta charla veremos la historia del problema y lo que se conoce hasta el momento.
El problema del cuboide perfecto
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Abstract:
Un cuboide perfecto (o ladrillo perfecto de Euler) es una caja cuyos lados, diagonales de las caras y diagonal principal tienen longitudes racionales. Hasta el momento no se ha encontrado algun cuboide perfecto, a pesar de lo mucho que se ha buscado. Tampoco sabemos si no existen. En esta charla veremos la historia del problema y lo que se conoce hasta el momento.
2021-03-19
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Infinitud de Primos
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Infinitud de Primos
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2020-11-27
14:00hrs.
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Héctor Pastén. UC
La solución negativa del Décimo Problema de Hilbert
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Abstract:
El Décimo Problema de Hilbert (H10, de 1900) pedía un algoritmo capaz de decidir existencia de soluciones enteras para ecuaciones diofantinas. Los trabajos de Davis, Putnam, Robinson y Matijasevic lograron demostrar en 1970 que dicho algoritmo no existe. En esta charla explicaré de qué se trata el problema y cómo se obtuvo solución, y deduciremos varias consecuencias sorprendentes.
La solución negativa del Décimo Problema de Hilbert
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Abstract:
El Décimo Problema de Hilbert (H10, de 1900) pedía un algoritmo capaz de decidir existencia de soluciones enteras para ecuaciones diofantinas. Los trabajos de Davis, Putnam, Robinson y Matijasevic lograron demostrar en 1970 que dicho algoritmo no existe. En esta charla explicaré de qué se trata el problema y cómo se obtuvo solución, y deduciremos varias consecuencias sorprendentes.
2020-11-20
14:00hrs.
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Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una introducción a las dinámicas aritméticas
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Abstract:
Una función racional define una dinámica en la esfera de Riemann por iteración. Si esta función tiene coeficientes racionales, entonces obtenemos una dinámica en los puntos racionales. En esta charla veremos una introducción a problemas aritméticos relacionados a dicha dinámica y daremos una idea de los métodos utilizados en su estudio.
Una introducción a las dinámicas aritméticas
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Abstract:
Una función racional define una dinámica en la esfera de Riemann por iteración. Si esta función tiene coeficientes racionales, entonces obtenemos una dinámica en los puntos racionales. En esta charla veremos una introducción a problemas aritméticos relacionados a dicha dinámica y daremos una idea de los métodos utilizados en su estudio.
2020-11-06
14:00hrs.
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Matías Bruna. Pontificia Universidad Católica de Chile
El teorema de Mason y su relación con la conjetura abc
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Abstract:
Comenzaremos presentando la conjetura abc y cuáles serían algunas de sus consecuencias (en caso de ser cierta). Luego demostraremos el teorema de Mason, el cual es el análogo de la conjetura abc para polinomios en k[t], demostraremos algunas de sus consecuencias, y discutiremos cómo éste hace que no sea "tan fácil" refutar la abc.
El teorema de Mason y su relación con la conjetura abc
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Abstract:
Comenzaremos presentando la conjetura abc y cuáles serían algunas de sus consecuencias (en caso de ser cierta). Luego demostraremos el teorema de Mason, el cual es el análogo de la conjetura abc para polinomios en k[t], demostraremos algunas de sus consecuencias, y discutiremos cómo éste hace que no sea "tan fácil" refutar la abc.
2020-10-30
14:00hrs.
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Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Una cota superior para el rango análitico de una curva elíptica
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Abstract:
Asociada a una curva curva elíptica tenemos una L-función L(E,s). Una conjetura famosa (Birch-Swinnerton-Dyer conjecture) sobre curvas elípticas definidas sobre los racionales, establece que el orden del cero en s=1 de L(E,s) (a lo que llamamos el rango analítico de la curva elíptica E) es igual al rango (como grupo abeliano) de los puntos racionales de la curva E. Es entonces importante tener control del rango análitico en términos de invariantes de la curva elíptica que sean calculables, al menos en ciertos casos.
Una cota superior para el rango análitico de una curva elíptica
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Abstract:
Asociada a una curva curva elíptica tenemos una L-función L(E,s). Una conjetura famosa (Birch-Swinnerton-Dyer conjecture) sobre curvas elípticas definidas sobre los racionales, establece que el orden del cero en s=1 de L(E,s) (a lo que llamamos el rango analítico de la curva elíptica E) es igual al rango (como grupo abeliano) de los puntos racionales de la curva E. Es entonces importante tener control del rango análitico en términos de invariantes de la curva elíptica que sean calculables, al menos en ciertos casos.
Nuestro objetivo es demostrar que dado un morfismo f de X a la curva elíptica E, donde X es una curva de un tipo específico, el cuál definiremos también en la charla, podemos acotar el rango analítico de E por el cardinal de un conjunto de puntos especiales de E asociados a f.
2020-10-23
14:00hrs.
14:00hrs.
Javier Reyes. Pontificia Universidad Católica de Chile
Ecuación de Markov
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Abstract:
Se introducirá la ecuación de Markov y la estructura de sus soluciones. También se presentará la conjetura de unicidad de números de Markov y una demostración para un caso particular.
Ecuación de Markov
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Abstract:
Se introducirá la ecuación de Markov y la estructura de sus soluciones. También se presentará la conjetura de unicidad de números de Markov y una demostración para un caso particular.
2020-10-16
14:00hrs.
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Patricio Pérez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Recurrencias lineales y el Teorema de Skolem-Mahler-Lech
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Abstract:
El Teorema de Skolem-Mahler-Lech postula que dada una sucesión determinada por una recurrencia lineal, el conjunto de índices donde esta sucesión es nula puede descomponerse en la unión de un conjunto finito y finitas progresiones aritméticas. En esta charla visitaremos una demostración de este resultado basada en técnicas del análisis p-ádico, por ejemplo estudiando qué es y qué propiedades tiene una función analítica en este contexto.
Recurrencias lineales y el Teorema de Skolem-Mahler-Lech
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Abstract:
El Teorema de Skolem-Mahler-Lech postula que dada una sucesión determinada por una recurrencia lineal, el conjunto de índices donde esta sucesión es nula puede descomponerse en la unión de un conjunto finito y finitas progresiones aritméticas. En esta charla visitaremos una demostración de este resultado basada en técnicas del análisis p-ádico, por ejemplo estudiando qué es y qué propiedades tiene una función analítica en este contexto.
2020-10-09
14:00hrs.
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Héctor Pastén. Pontifica Universidad Católica de Chile
Progresiones aritméticas de cuadrados
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Abstract:
Los números 1,25,49 forman una progresión aritmética de cuadrados enteros. Podríamos amplificar por un factor cuadrado para obtener más ejemplos, pero ¿hay otros ejemplos realmente distintos? ¿hay infinitos? ¿cuáles son todos? ¿hay progresiones aritméticas de 4 cuadrados enteros? ¿y qué pasa con progresiones aritméticas de cubos? Todas estas preguntas serán respondidas con un método cuyos orígenes se remontan al menos a los trabajos de Diofanto hace unos 1800 años.
Progresiones aritméticas de cuadrados
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Abstract:
Los números 1,25,49 forman una progresión aritmética de cuadrados enteros. Podríamos amplificar por un factor cuadrado para obtener más ejemplos, pero ¿hay otros ejemplos realmente distintos? ¿hay infinitos? ¿cuáles son todos? ¿hay progresiones aritméticas de 4 cuadrados enteros? ¿y qué pasa con progresiones aritméticas de cubos? Todas estas preguntas serán respondidas con un método cuyos orígenes se remontan al menos a los trabajos de Diofanto hace unos 1800 años.
2020-10-02
14:00hrs.
14:00hrs.
Sebastián Rahausen. Pontificia Universidad Católica de Chile
Un método para la conjetura de Manin-Mumford
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Abstract:
La conjetura de Manin-Mumford afirma que la intersección de una curva de género mayor o igual a 2 con el subgrupo de torsión de su Jacobiano es un conjunto finito. Surgió en los 1960s. Se han obtenido varias demostraciones de ella, la primera en 1983 por Raynaud. En esta charla veremos una demostración de esta conjetura obtenida por Pila-Zannier en 2008. Esta se basa en comparar cotas superiores para la cantidad de puntos racionales en superficies analíticas reales trascendentales (Bombieri-Pila-Wilkie) y cotas inferiores para grados de puntos de torsión (Masser).
Un método para la conjetura de Manin-Mumford
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Abstract:
La conjetura de Manin-Mumford afirma que la intersección de una curva de género mayor o igual a 2 con el subgrupo de torsión de su Jacobiano es un conjunto finito. Surgió en los 1960s. Se han obtenido varias demostraciones de ella, la primera en 1983 por Raynaud. En esta charla veremos una demostración de esta conjetura obtenida por Pila-Zannier en 2008. Esta se basa en comparar cotas superiores para la cantidad de puntos racionales en superficies analíticas reales trascendentales (Bombieri-Pila-Wilkie) y cotas inferiores para grados de puntos de torsión (Masser).
2020-09-11
14:00hrs.
14:00hrs.
Jerson Caro. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte Iii)
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Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte Iii)
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2020-09-04
14:00hrs.
14:00hrs.
Matías Alvarado. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte Ii)
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Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte Ii)
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2020-08-28
14:00hrs.
14:00hrs.
Matías Alvarado. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte I)
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Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Alturas Arquimedeanas Para X_0(N) (Parte I)
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2020-08-21
14:00hrs.
14:00hrs.
Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Introducción a la Fórmula de Gross-Zagier
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Puntos de Heegner y Derivadas de Funciones L: Introducción a la Fórmula de Gross-Zagier
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2020-08-14
14:00hrs.
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Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Los puntos racionales no respetan la dimensión
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Abstract:
Voy a dar un ejemplo de un morfismo de una superficie a una curva donde la superficie tiene un denso de puntos racionales, pero el morfismo es inyectivo en puntos racionales. Esto responde una versión de un problema planteado por H. Friedman y D. Zagier.
Los puntos racionales no respetan la dimensión
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Abstract:
Voy a dar un ejemplo de un morfismo de una superficie a una curva donde la superficie tiene un denso de puntos racionales, pero el morfismo es inyectivo en puntos racionales. Esto responde una versión de un problema planteado por H. Friedman y D. Zagier.
2020-07-24
10:00hrs.
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Natalia García. Pontificia Universidad Católica de Chile
Modularidad de Representaciones de Galois: Modularidad de Curvas Elípticas Semiestables
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Modularidad de Representaciones de Galois: Modularidad de Curvas Elípticas Semiestables
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2020-07-23
10:00hrs.
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Héctor Pastén. Pontificia Universidad Católica de Chile
Modularidad de Representaciones de Galois: Teorema de Levantamiento Modular
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2020-07-14
15:30hrs.
15:30hrs.
Patricio Pérez. Pontificia Universidad Católica de Chile
Modularidad de Representaciones de Galois: Criterios Numéricos de Isomorfismo
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2020-07-10
14:00hrs.
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Matías Alvarado. Pontificia Universidad Católica de Chile
Modularidad de Representaciones de Galois: Álgebras de Hecke
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Modularidad de Representaciones de Galois: Álgebras de Hecke
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